NPC（NP完全问题）证明

简介

NPC

Non-deterministic Polynomial complete problem，NP完全问题。

P、NP、NP,NP-hard

P 问题：一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于P问题，比如解决这个问题的复杂度为O(1),O(log(n)),O(n^a)的问题
NP 问题：还未被证明是否存在多项式算法能够解决的问题
NPC（NP完全问题）：如果任何一个NP问题都能通过一个多项式时间算法转换为某个NP问题，那么这个NP问题就称为NPC问题。
NP-hard问题：问题未必可以在多项式的时间内验证一个解的正确性（即不一定是NP问题），因此即使NP完全问题有多项式时间内的解，NP困难问题依然可能没有多项式时间内的解。因此NP困难问题“至少与NPC问题一样难”。

问题举例

2009年机械工业出版社《算法概论》（《algorithms》）课后习题8.9

    In the HITTING SET problem, we are given a family of sets {S1, S2, . . . , Sn} and a budget b, and we wish to find a set H of size ≤ b which intersects every Si , if such an H exists. In other words, we want H∩Si ≠ ∅ for all i.
    Show that HITTING SET is NP-complete.

下面是译文

    在碰撞集（HITTING SET）问题中，给出了一组集合{S1，S2，...。。 ，Sn}和预算b，我们希望找到一个所有的Si相交且规模≤b的集合H，当然，前提是这样的H存在。换句话说，我们想要所有i满足 H∩Si≠∅。
    证明碰撞集问题（HITTING SET）为NP完全问题。

证明

（1）证明该问题是一个NP问题。

假设给出集合H的所有元素，显然可以在多项式时间内验证该集合H是否满足条件要求（和Si逐一比较是否有交集并检查规模是否超过b），所以该问题是个NP问题

（2）再证明该问题是一个NP-hard问题。

已知图的最小顶点覆盖问题（Vertex Cover）是NP-hard问题（在《算法概论》书中已有证明），只要能找到一种把最小顶点覆盖问题规约到碰撞集问题的方法，即可以证明碰撞集问题是NP-hard问题。

（3）规约

假设有一个图G(V,E)，则把该图的每一条边对应一个集合Si，边上的两个点即该集合的元素，即每个集合有两个元素，如S1={v1,v2}，这样一来，就能构造出 |E| 个集合。求图G的最小顶点覆盖问题，可以转化成求这 |E| 个集合的碰撞集，最小顶点覆盖的顶点就是H的元素，最小顶点覆盖数即为b。

（4）结论

所以碰撞集是一个NP问题且是一个NP-hard问题，即碰撞集为一个NP完全问题