【bzoj4037】【HAOI2015】【矩阵乘法】【DP】str

Str

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Description

你有一个长度为n的数字串。
定义f(S)为将S拆分成若干个1~m的数的和的方案数，比如m=2时，f(4)=5，分别为
4=1+1+1+1
你可以将这个数字串分割成若干个数字（允许前导0），将他们加起来，求f，并求和。
比如g(123)=f(1+2+3)+f(1+23)+f(12+3)+f(123)。
已知字符串和m后求答案对998244353（7×17×223+1，一个质数）取模后的值。

Input

第一行输入一个字符串，第二行输入m

Output

仅输出一个数表示答案

Sample Input

123
3

Sample Output

394608467

HINT

对于100%的数据，字符串长度不超过500，m<=5

Source

鸣谢bhiaibogf提供

dp题，但全程化加为乘，导致我这个蒟蒻想了好久

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大概说一下我是怎么理解的，首先是f，这个递推式一下就写得出来f[i]=f[i-1]+f[i-2]+…+f[i-m],然后m那么小我们就可以用矩阵乘法优化运算速度，同时化加为乘。
然后我们来看g， g(n)=∑ni=1f(A(i,n))∗g(i−1) 但是这个公式什么意思呢》为什么g有一定是矩阵呢，我们来看一下样例。
g(123) = f(1+2+3)+f(12+3)+f(1+23)+f(123)
g(12) = f(1+2)+f(12)
g(1) = f(1)

g(123) = g(12)*f(3)+g(1)*f(23)+1*f(123)
= f(1+2)*f(3)+f(12)*f(3)+f(1)*f(23)+f(123)
这个时候我们为什么要用矩阵就可以看出来了，因为矩阵化加为乘了，我们f(1+2)*f(3) = f(1+2+3)这样我们的递推式就可以很好理解了

然后下面是代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 2100000000
#define ll long long
#define clr(x)  memset(x,0,sizeof(x))
#define maxclr(x)  memset(x,127,sizeof(x))

using namespace std;

inline int read()
{
    char c;
    int ret=0;
    while(!(c>='0'&&c<='9'))
        c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        ret=(c-'0')+(ret<<1)+(ret<<3);
        c=getchar();
    }
    return ret;
}

#define M 505
#define P 998244353LL

int m,n;

struct marix
{
    int n[6][6];
    void set()
    {
        clr(n);
        for(int i=1;i<=m;i++)
            n[i][i]=1;
    }
};


marix operator*(marix a,marix b)
{
    marix ret;
    clr(ret.n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=m;k++)
                ret.n[i][j]=((ll)ret.n[i][j]+(ll)a.n[i][k]*(ll)b.n[k][j])%P;
    return ret;
}

void operator+=(marix &a,marix b)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a.n[i][j]=(a.n[i][j]+b.n[i][j])%P;
}

marix mi(marix a,int t)
{
    marix temp=a,ret;
    ret.set();
    while(t)
    {
        if(t&1)ret=ret*temp;
        temp=temp*temp;
        t>>=1;
    }
    return ret;
}

char temp[M];
int a[M];
marix num[M][10],A,dp[M];
marix X;

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%s",temp);
    n=strlen(temp);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=temp[i-1]-'0';
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)A.n[i][1]=1;
    for(int i=1;i1]=1;

    X.set();
    for(int i=1;i<=100;i++)
        X=X*A;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        num[i][0].set();
        for(int j=1;j<=9;j++)
            num[i][j]=num[i][j-1]*A;
        A=mi(A,10);
    }
    dp[0].set();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        A.set();
        for(int j=i-1;j>=0;j--)
        {
            A=A*num[i-j][a[j+1]];
            dp[i]+=dp[j]*A;
        }           
    }
    cout<1][1];
}

大概就是这个样子，如果有什么问题，或错误，请在评论区提出，谢谢。