6395. 【NOIP2019模拟2019.10.28】消失的序列

题意

求$n$对括号序的合法数目，并要求第$x$个右括号刚好匹配第$pos$个左括号。

思路

首先枚举第$pos$个左括号的位置，那么可以算出第$x$个右括号的位置.

分三类讨论：

1. $(pos+1)\sim (x-1)$这一段的方案数是一个卡特兰数。

2. $1\sim (pos-1)$相当于是从$(0,0)$出发走到$(n,m)$不穿过对角线$y=x$的方案.

等价于不经过斜线$y=x+1$的方案，按照$y=x+1$对称可以得到方案数为 总方案 - 不合法方案，每一条不合法方案对应着一条到达$(m-1,n+1)$点的方案，因为必定经过y=x+1，$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m-1}\right)$$

3. $x+1\sim n$这一段类似，只不过是从某个点$(k,0)$开始走到$(n,m)$的方案，等价于从$(0,0)$走到$(n,m-k)$的方案，这是显然的。