6395. 【NOIP2019模拟2019.10.28】消失的序列

题意

n n n对括号序的合法数目,并要求第 x x x个右括号刚好匹配第 p o s pos pos个左括号。

思路

首先枚举第 p o s pos pos个左括号的位置,那么可以算出第 x x x个右括号的位置.

分三类讨论:

  1. ( p o s + 1 ) ∼ ( x − 1 ) (pos +1) \sim (x - 1) (pos+1)(x1)这一段的方案数是一个卡特兰数。

  2. 1 ∼ ( p o s − 1 ) 1\sim (pos-1) 1(pos1)相当于是从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)出发走到 ( n , m ) (n,m) (n,m)穿过对角线 y = x y=x y=x的方案.

等价于不经过斜线 y = x + 1 y=x+1 y=x+1的方案,按照 y = x + 1 y=x+1 y=x+1对称可以得到方案数为 总方案 - 不合法方案,每一条不合法方案对应着一条到达 ( m − 1 , n + 1 ) (m-1,n+1) (m1,n+1)点的方案,因为必定经过y=x+1 ( n + m n ) − ( n + m m − 1 ) \binom{n+m}{n}-\binom{n+m}{m-1} (nn+m)(m1n+m)

  1. x + 1 ∼ n x+1\sim n x+1n这一段类似,只不过是从某个点 ( k , 0 ) (k,0) (k,0)开始走到 ( n , m ) (n,m) (n,m)的方案,等价于从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)走到 ( n , m − k ) (n,m-k) (n,mk)的方案,这是显然的。

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