并查集学习笔记

部分内容转自：Cherish_yimi (http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/)

l         并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

l         并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图

l         并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

代码实现：

/*    并查集  2013/4/10   */

int father[max]; //father[x] 表示x的父结点
int rank[max];   //rank[x]表示x的秩

/*  初始化数组 */
void make_set(int x)
{
    father[x] = x;
    rank[x]   = 0;
}

/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/

int find_set(int x)
{
    if(x != father[x])
    {
        father[x] = find_set(father[x]); //这个回溯是压缩路径是精华
    }
    return father[x];
}
/***************************************************
  按秩合并x,y所在的集合
  下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化
  但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。
****************************************************/
void union(int x,int y)
{
    x = find_set(x);
    y = find_set(y);
    if(x == y)
        return;
    if(rank[x] > rank[y])
    {
        father[y] = x;
    }
    else
    {
        if(rank[x] == rank[y])
        {
            rank[y] ++;
        }
        father[x] = y;
    }
}