快速幂模板（详细版）

下面是 m^n  % k 的快速幂：

// m^n % k
int quickpow(int m,int n,int k)
{
    int b = 1;
    while (n > 0)
    {
          if (n & 1)
             b = (b*m)%k;
          n = n >> 1 ;
          m = (m*m)%k;
    }
    return b;
} 

下面是矩阵快速幂：

//HOJ 3493
/* ===================================*/
|| 快速幂（quickpow）模板 
|| P 为等比，I  为单位矩阵
||  MAX 要初始化！！！！
||
/*===================================*/
/*****************************************************/
#include 
const int MAX = 3;

typedef  struct{
        int  m[MAX][MAX];
}  Matrix;

Matrix P = {5,-7,4,
            1,0,0,
            0,1,0,
           };

Matrix I = {1,0,0,
            0,1,0,
            0,0,1,
           };
           
Matrix matrixmul(Matrix a,Matrix b) //矩阵乘法
{
       int i,j,k;
       Matrix c;
       for (i = 0 ; i < MAX; i++)
           for (j = 0; j < MAX;j++)
             {
                 c.m[i][j] = 0;
                 for (k = 0; k < MAX; k++)
                     c.m[i][j] += (a.m[i][k] * b.m[k][j])%9997;
                 c.m[i][j] %= 9997;
             }
       return c;
}
          
Matrix quickpow(long long n)
{
       Matrix m = P, b = I;
       while (n >= 1)
       {
             if (n & 1)
                b = matrixmul(b,m);
             n = n >> 1;
             m = matrixmul(m,m);
       }
       return b;
}
               /*************************************/

int  main()
{
    Matrix re;
    int f[3] = {2,6,19};
    long long n;
    while (scanf("%I64d",&n) && n != 0)
    {
          if (n == 1)
             printf("1\n");
          else if (n <= 4)
                  printf("%d\n",f[n-2]);
               else {
                      re = quickpow(n - 4);
                      printf("%d\n",(((re.m[0][0]*f[2]) 
                             + (re.m[0][1]*f[1]) + (re.m[0][2]*f[0])) %9997 + 9997) % 9997);
                      }
    }
    return 0;
}

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

我们先从简单的例子入手：求= 几。

 

算法1.首先直接地来设计这个算法：

 int ans = 1;
 for(int i = 1;i<=b;i++)
 {
     ans = ans * a;
 }
 ans = ans % c;

 

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

 

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：

引理1：

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

 int ans = 1;
 a = a % c; //加上这一句
 for(int i = 1;i<=b;i++)
 {
     ans = ans * a;
 }
 ans = ans % c;

 聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

 

 int ans = 1;
 a = a % c; //加上这一句
 for(int i = 1;i<=b;i++)
 {
     ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
 }
 ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：

1.如果b是偶数，我们可以记k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇数，我们也可以记k = a2 mod c，那么求

((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

 int ans = 1;
 a = a % c;
 if(b%2==1)
     ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
 k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
 for(int i = 1;i<=b/2;i++)
 {
     ans = (ans * k) % c;
 }
 ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

 int ans = 1;
 a = a % c;
 while(b>0)
 {
 if(b % 2 == 1)
    ans = (ans * a) % c;
 b = b/2;
 a = (a * a) % c;
 }

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

 int PowerMod(int a, int b, int c)
 {
     int ans = 1;
     a = a % c;
     while(b>0)
     {
         if(b % 2 = = 1)
             ans = (ans * a) % c;
         b = b/2;
         a = (a * a) % c;
     }
     return ans;
 }

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。

以下内容仅供参考：

扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。

=？ 求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：

将10进制的b转化成2进制的表达式：

那么，实际上，.

所以

注意此处的要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了，读者自己好好分析，可以联系10进制转2进制的方法]，我们从依次乘到。对于每一项的计算，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言，为时ans不用把它乘起来，[因为这一项值为1]，为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的，读者可以自行分析，这里我说不多说了，希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。