斐波那契数列的第 n 项 mod 1000000007（矩阵乘法）

矩阵快速幂：

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

给出n，求F(n)，由于结果很大，输出F(n) % 1000000007的结果即可。

引例  ：求斐波那契数列的第 n 项 mod 1000000007 的值， n <= 10  18  。

分析 ：斐波那契数列的递推式为 f(n) = f(n-1)+f(n-2) ，直接循环求出 f(n) 的时间复杂度是 O(n) ，对于题目中的数据范围显然无法承受。很明显我们需要对数级别的算法。由于 f(n) = 1*f(n-1) + 1*f(n-2) 这样的形式很类似于矩阵的乘法，所以我们可以先把这个问题复杂化一下，将递推求解 f(n) 与 f(n-1) 的过程看作是某两个矩阵相乘的结果，式子如下：

即：

所以我们只要不断地乘以上面式子中的第二个矩阵（也就是第二个矩阵的幂）就能够不断递推得到 f(n) 。但是这样于解题没有丝毫益处，反而使得常数变得更大（矩阵乘法的复杂度为立方级别）。所以我们就要利用矩阵乘法的一条重要性质：结合律。即矩阵 (A*B)*C = A*(B*C) ，证明过程可参见 2008 年国家集训队俞华程的论文。

有了结合律我们就可以用快速幂计算矩阵的幂，问题的复杂度顺利降到了 O(logn) 。

代码：

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