AcWing1077. 皇宫看守(树形DP)题解

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题目描述

太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。

皇宫以午门为起点，直到后宫嫔妃们的寝宫，呈一棵树的形状，某些宫殿间可以互相望见。

大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。

可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。

帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。

输入格式

输入中数据描述一棵树，描述如下：

第一行 n，表示树中结点的数目。

第二行至第 n+1 行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号 i，在该宫殿安置侍卫所需的经费 kk，该结点的子结点数 m，接下来 m 个数，分别是这个结点的 mm 个子结点的标号 r1,r2,…,rm。

对于一个 n 个结点的树，结点标号在 1 到 n 之间，且标号不重复。

输出格式

输出一个整数，表示最少的经费。

数据范围

1≤n≤1500

输入样例：

6
1 30 3 2 3 4
2 16 2 5 6
3 5 0
4 4 0
5 11 0
6 5 0

输出样例：

25

样例解释：

在2、3、4结点安排护卫，可以观察到全部宫殿，所需经费最少，为 16 + 5 + 4 = 25。

题解：

树形DP:

f[ N ] [ 3 ],表示3种状态: 0 表示父节点放了守卫, 1 表示子节点放了守卫, 2 表示自身放了守卫

则f[ u ] [ 0 ] += min(f[ j ] [ i ], f[ j ] [ 2 ]) 父节点放了守卫, 那么它的字节点可放可不放,我们取最小值

f[ u ] [ 2 ] += min(f[ j ] [ 0 ], min(f[ j ] [ 1 ], f[ j ] [ 2 ])) 自身放了守卫, 子节点可放可不放, 去3种状态的最小值

思考子节点放了守卫的情况:

枚举哪个子节点放了守卫, 即f[ j ] [ 2 ], 其他子节点可放可不放, 可以先用sum求出子节点值的总和, 即f[ u ] [ 0 ],

f[ u ] [ 0 ] - min(f[ j ] [ 1 ], - f[ j ] [ 2 ]) 表示去掉j这个子节点其他子节点的总和;

推出:f[ u ] [ 1 ] = min(f[ u ] [ 1 ], f[ j ] [ 2 ] + f[ u ] [ 0 ] - min(f[ j ] [ 1 ], f[ j ] [ 2 ]));

#include
#include
using namespace std;
const int N = 1510;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int f[N][3];  //3种状态 0 表示父节点放了守卫,1 表示子节点放了守卫,2 表示自身放了守卫
int n, m, a, b, c;
int vis[N];
void add(int a, int b)
{
     
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
void dfs(int u)
{
     
    f[u][2] = w[u];
    int sum = 0; // 记录所有子节点f[j][1], f[j][2] 的最小值
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
     
        int j = e[i];
        dfs(j);
        f[u][0] += min(f[j][1], f[j][2]);
        f[u][2] += min(f[j][0], min(f[j][1], f[j][2]));
    }
    f[u][1] = 1e9;
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
     
        int j = e[i];
        //枚举子节点 j 放了守卫
        //f[u][0] - min(f[j][1], - f[j][2]) 表示去掉j这个子节点其他子节点的总和;
        f[u][1] = min(f[u][1], f[j][2] + f[u][0] - min(f[j][1], f[j][2])); 
    }
}
int main()
{
     
    cin >> n;
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(vis, false, sizeof vis);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
     
        cin >> a >> c >> m;
        w[a] = c;
        while(m--){
     
            cin >> b;
            add(a, b);
            vis[b] = true;
        }
    }
    int root = 1;
    while(vis[root])root++;  //寻找根节点
    dfs(root);
    cout << min(f[root][1], f[root][2]) << endl;
    return 0;
}