学习算法和数据结构：树状结构

「学习算法和数据结构系列」之树状结构

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树的基本概念

树是由n（n≥0）个结点的有限集；n=0时称为空树；在任意一棵非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2……、Tm，其中每一个有限集本身又是一棵树，并切称为根的子树
树的定义用到了递归

结点分类

按照所处层次的不同，分为“根结点”、“分支结点”、“叶结点”

结点间的关系

按照所在的相对位置，有“子结点”、“父结点”、“兄弟结点”

结点的度

结点的度是指该结点的子结点个数

树的度

树的度是指树的各个结点的度的最大值

树的深度

从根结点开始为第一层，最大的层次数称为数的深度
文章开头的树的深度为4

树和森林

定义：森林是m（m≥0）棵互不相交的树的集合

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树的ADT

Data
    树是由一个根结点和若干棵子树构成；树中结点具有相同的数据类型及层次关系
Operation
    InitTree(*T)：构造空树
    DestroyTree(*T)：销毁树T
    CreateTree(*T, definition)：根据definition中给出的树的定义来构造树
    ClearTree(*T)：若树存在，则将树T清空为空树
    TreeEmpty(T)：若树为空树，返回treu，否则返回false
    Root(T)：返回T的根结点
    Value(T, cur_e)：cur_e是树T中的一个结点，返回此值
    Assign(T, cur_e, value)：给树T的根结点cur_e赋值为value
    Parent(T, cur_e)：若cur_e是树T的非根结点，则返回它的父结点
    LeftChild(T, cur_e)：若cur_e是树的非叶结点，则返回它的最左孩子
    RightSibling(T, cur_e)：若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟否则返回空
    InsettChild(*T，*p, i, c)：其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度数加1，非空树c与T不相交，操作结果为插入c为树T中p指向结点的第i棵子树
    DeleteChild(*T, *p, i)：其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度，操作结果为删除T中p所指向结点的第i棵子树

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树的存储结构

根据附加信息的不同，分为：双亲表示法、孩子表示法、和孩子兄弟表示法
以下分别称为：父结点表示法、子结点表示法、和兄弟结点表示法；这些方法可能会综合顺序存储和链式存储

父结点表示法

每个结点都存有其父结点的位置信息（根结点改值为-1）

typedef struct PTNode  /*结点结构*/
{
    int data;  /*结点数据*/
    int parent;  /*父结点位置*/
}PTNode;

typedef struct  /*树结构*/
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];  /*结点数组*/
    int r, n;  /*根的位置和结点树数*/
}PTree;

子结点表示法

也叫“多重链表表示法”

“子结点表示法”势必要引入额外的信息来表示子结点的位置，然而每个结点的子结点个数可能是不一样的，所以对于每个结点而言，其存储的子结点位置信息的个数（结点的度）也可能是不一样的；对此，有两种解决方案：
方案一：指针域的个数等于树的度
方案二：指针域的个数等于该结点的度
方案一对于树中各结点度相差很大时，显然是浪费空间的，因为有很多结点的指针域都是空的；不过如果树的各个结点度相差很小时，那就意味着开辟的空间被充分利用了，所以这种存储结构适合树中各度相差不大的情况
方案二克服了潜在的空间浪费，但是由于各个结点的链表是不同的结构，加上要维护结点的度的数值，在运算上会带来时间上的损耗

子结点表示法最终方案：
把每个结点子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个子结点链表，如果是叶结点则此单链表为空，然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，放进一个一维数组中

typedef struct _ctnode  /*子结点*/
{
    int child;
    struct _ctnode *next;
}ChildPtr;

typedef struct  /*表头结构*/
{
    int data;
    ChildPtr firstchild;
}CTBox;

typedef struct  /*树结构*/
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];  /*结点数组*/
    int r, n;  /*根的位置和结点数*/
}CTree;

这样的结构，如果要查找某个结点的某个子结点，或者某个结点的兄弟结点，只需要查找这个结点的子结点单链表即可；对于遍历整棵树也是很方便的，对头结点的数组循环即可

说明：综合“父结点表示法”和“子结点表示法”，可以设计出“父子结点表示法”，在子结点单链表中加入其父结点位置的指针域即可

兄弟结点表示法

注意到任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，同样它的右兄弟如果存在也是唯一的，可以用两个指针分别指向这个结点的长子结点和右兄弟结点，如果不存在就指向空

typedef struct _csnode
{
    int data;
    struct _csnode *firstchild, *rightsib;
}CSNode, *CSTree;

同样的可以结合“兄弟结点表示法”和“父结点表示法”，这样便于查找某个结点的父结点；因为纯粹是体力活，这里不再赘述

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二叉树简介

说明：本文旨在从宏观上介绍作为数据结构的树，有关二叉树的具体实现和技巧等将在后续文章中写出；此处只是作为一个抛砖引玉的作用罢了

二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别为根结点的左子树和右子树的二叉树组成

二叉树的种类繁多，比如普通二叉树、满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树树、二叉搜索树、红黑树、哈夫曼树等