不定积分计算（平方差类型）

不定积分计算

不定积分的计算$\int \sqrt{x^2-a^2}dx$ 类型

发现自己貌似学的又是假的高数??，我推一个基本的公式没算出来，一个步骤卡壳了，记录一下吧~

题目：

$\int \sqrt{x^2-a^2}dx$

解题思路：

一看是：$\sqrt{x^2-a^2}$ 自然就令 $x=asect$ 去掉根号解题。

解题步骤

1. 直接展开计算得到：

   $\int a^{2}2{\tan }^{2}tsectdt$

2. 提取常数，$ta{n}^2$替换为$se{c}^2-1$得到：

   $a^2\int \left(se{c}^{3}t-sect\right)dt$

3. 不定积分的性质拆分得到：

   $a^2\int se{c}^{3}tdt-a^2\int sectdt$

   好就到这里，没算出来$\int se{c}^{3}tdt$这个部分,之前没算过~ 断了思路卡住了

   后来我看到这个公式 （之前就没用过呢），就解出来的这个题：：

   $\int se{c}^m\left(t\right)dt=\frac{\sin \left(t\right)se{c}^{m-1}\left(t\right)}{m-1}+\frac{m-2}{m-1}\int se{\overline{c}}^{2+m}\left(t\right)dt$

   有上公式解$a^2\int se{c}^{3}tdt$

   $\frac{1}{2}{a}^2\tan tsect+\frac{1}{2}{a}^2\int sectdt$

4. 合并得到：

   $\frac{1}{2}{a}^2\tan tsect-\frac{1}{2}{a}^2\int sectdt$

5. 不定积分计算：

   $\frac{1}{2}{a}^2\tan tsect-\frac{1}{2}{a}^2\ln \left|sect+\tan t\right|$

6. 算到这步，根据 $x=asect$ 直接画三角形表示对应的角得到：

   $\frac{1}{2}{a}^2\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\cdot \frac{x}{a}-\frac{1}{2}{a}^2\ln \left|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right|$

   最后解得：

   $\int \sqrt{x^2-a^2}dx$ = $\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+c$

总结：

同理， $\int \sqrt{x^2+a^2}dx$ 也可求得为： $\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+c$，之前没遇到过，写到这不容易丢，方便及时回顾。