二叉树前奏

前言

回顾

在前面的数据结构学习中，无论是以顺序结构存储的 数组 还是链式存储结构的 链表、栈与队列 等(没有阅读过之前的随笔，可以点击对应的名词跳转) 。实际上都可以归类成线性结构。

今天复习另外一种数据结构，树形结构，没错，就是生活中的那种树，要倒过来的那种。

以树干的分支数量为准，可以将树分为二叉树与多叉树，二叉树是我们要研究的重点

生活中的树形结构也有很多，例如公司的股权图，文件目录等等，使用树形结构可以大大提高效率，同时树形结构也是被广泛应用于底层结构，例如数据库索引

树形结构

树的概念

节点：根节点、父节点、子节点、兄弟节点

空树：一棵树可以没有任何节点

一棵树可以只有1个节点，也就是只有根节点

子树：左子树、右子树

节点的度（degree）：子树的个数

树的度：所有节点度中的最大值

叶子节点（leaf）：度为 0 的节点

非叶子节点：度不为 0 的节点

层数（level）：根节点在第1层，根节点的子节点在第2层，以此类推（有些教程也从第0层开始计算）

节点的深度（depth）：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数

节点的高度（height）：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数

树的深度：所有节点深度中的最大值

树的高度：所有节点高度中的最大值

树的深度等于树的高度

有序树，无序树，森林

有序树

• 树中任意节点的子节点之间有顺序关系

无序树

• 树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，也称为“自由树”

森林

• 由m（m≥0）棵互不相交的树组成的集合

二叉树（Binary Tree）

1、二叉树的特点

• 每个节点的度最大为2（最多拥有2棵子树）
• 左子树和右子树是有顺序的（有序树）
• 即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树

2、二叉树图解

3、二叉树的性质

• 非空二叉树的第 i 层，最多有 $2^{i-1}$ 个节点（i ≥ 1）
• 在高度为 h 的二叉树上最多有$2^{h-1}$个结点（h ≥ 1）
• 对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为n0，度为2的节点个数为n2，则有: n0 = n2 + 1
  • 假设度为1的节点个数为n1，那么二叉树的节点总数n= n0 + n1 + n2
  • 二叉树的边数T = n1 + 2 * n2 = n–1 = n0 + n1 + n2–1
  • 因此n0 = n2 + 1

真二叉树（Proper Binary Tree）

概念：所有节点的度都要么为 0，要么为 2

满二叉树（Full Binary Tree）

概念：最后一层节点的度都为0，其他节点的度都为2

性质：

• 假设满二叉树的高度为h（h≥1），那么有：
  • 第i层的节点数量： $2^{i-1}$
  • 叶子节点数量： $2^{h-1}$
  • 总节点数量 n，则 n = $2^h-1$ = $2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + ... + $2^{h-1}$
  • h = $\log_2n+1$
• 同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多
• 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

图解：

完全二叉树（Complete Binary Tree）

概念：叶子节点只会出现最后 2 层，且最后 1 层的叶子结点都靠左对齐

完全二叉树与满二叉树是很相似的，所以也可以这么定义，完全二叉树：对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应

小结论：1、完全二叉树从根结点至倒数第2层是一棵满二叉树，2、满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

性质：

• 度为 1 的节点只有左子树，度为1的节点要么是 1 个，要么是 0 个

• 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小（从上往下，从左往右满排布）

• 假设完全二叉树的高度为h（h ≥ 1），那么有：

  • 至少有$2^{h−1}$个节点， $2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + ... + $2^{h-2}$ + 1
  • 最多有$2^h−1$个节点( 满二叉树 )， $2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + ... + $2^{h-1}$

• 假设总节点数量为 n

  • $2^{h−1}$ <= $2^h$
  • $h-1$ <= $\log_2n$ < $h$
  • $h$ = foor $(\log_2n) + 1$
  • floor是向下取整，另外，ceiling是向上取整

• 

• 

例题巩固：如果一棵完全二叉树有768个节点，求叶子节点的个数

求解：

• 假设叶子节点个数为n0，度为1的节点个数为n1，度为2的节点个数为n2，总结点个数为n。则n = n0 + n1 + n2，且n0 = n2 + 1
• 等式替换：n = 2n0 + n1 – 1
• 完全二叉树的 n1 要么为 0，要么为 1
  • (1) n1为1时，n = 2n0，n必然是偶数，叶子节点个数n0 = n / 2，非叶子节点个数n1 + n2 = n / 2
  • (2) n1为0时，n = 2n0–1，n必然是奇数，叶子节点个数n0 = (n + 1) / 2，非叶子节点个数n1 + n2 = (n–1) / 2

结论：

• 叶子节点个数n0 = floor((n + 1) / 2) = ceiling(n / 2)
• 非叶子节点个数n1 + n2 = floor(n / 2) = ceiling((n–1) / 2)
• 因此叶子节点个数n0 = 384

小结

1、对于树的一些基本概念要牢记，否则，你连笔试题目都看不懂

2、一些树的性质是要记住的，不要觉得公式没用，不然，代码都敲不出来

3、对着目录过一遍，树的概念，以此作为笔记写下，好记性不如烂笔头

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