洛谷 P6786「SWTR-6」GCDs & LCMs

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题目大意

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，你需要找出它的一个子序列 $b$（设 $b$ 的长度为 $m$），并满足以下条件

• 对于所有 $(1\le i\le m)$，$b_i$ 要么是 $b$ 中最大的元素，要么存在一个 $b_j>b_i$，满足 $b_i+b_j+\gcd (b_i,b_j)=\mathrm{lcm}(b_i,b_j)$
• $\sum _{i=1}^m{b}_i$ 尽可能大
  $n\le 3\times 10^5$

前置芝士

集合的交与并以及其符号

解题思路

首先，我们先将 $b_i+b_j+\gcd (b_i,b_j)=\mathrm{lcm}(b_i,b_j)$ 化简
$b_i+b_j+\gcd =\frac{\mathrm{lcm}}{\gcd }\times \gcd$
$b_i+b_j=(\frac{\mathrm{lcm}}{\gcd }-1)\times \gcd$
$\frac{b_i}{\gcd }+\frac{b_j}{\gcd }=(\frac{\mathrm{lcm}}{\gcd }-1)$
到了这，你应该会发现 $\frac{b_i}{\gcd }\times \frac{b_j}{\gcd }=\frac{b_i\cdot b_j}{{\gcd }^2}=\frac{\mathrm{lcm}}{\gcd }$，原因是 $\mathrm{lcm}\cdot \gcd =b_i\cdot b_j$
那么，我们就得到了 $\frac{b_i}{\gcd }+\frac{b_j}{\gcd }=(\frac{b_i}{\gcd }\cdot \frac{b_j}{\gcd }-1)$
这时候我就赶紧跑去打了个表QwQ，发现只有 $(2,3)$ 这个组合满足两数之和等于两数之积减一。也就是说，当且仅当 $\frac{b_i}{b_j}=\frac{2}{3}$ 的时候，原式才成立。

由此，题目就被我们化成了这样：$b_i$ 要么是 $b$ 中最大的，要么存在一个 $b_j$，满足 $\frac{b_i}{b_j}=\frac{2}{3}$
剩下的就很简单了，直接计算最长链就好了

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int Maxn=300000+10;
map <int,int> c;
map <int,bool> vis;
int a[Maxn],n;
long long ans;
inline int read()
{
     
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
     if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return s*w;
}
int main()
{
     
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
     
		a[i]=read();
		c[a[i]]++;
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
     
		if(vis[a[i]])continue;
		register int x=a[i];
		register long long tot=0;
		while(c[x])
		{
     
			tot+=(long long)c[x]*x;
			vis[x]=1;
			if(x & 1)break;
			x=(x>>1)*3;
		}
		ans=max(ans,tot);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}