排座位 二分图最大匹配 搜索

搜索专项训练赛 排座位

题目大意

有n位中国人和n位美国人开会，编号都是1~n。会桌是圆形的，有2n个座位。美国人和中国人必须交替就座，也就是相邻两个人的国籍不能相同。但是其中有些人有矛盾，挨在一起落座会不开心。给出这些矛盾关系，求出最少的不开心人数。

数据范围

对于30% 的数据，0≤n≤5
对于 100% 的数据，0≤n≤9 , 0≤m≤n*n

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看到数据范围这么小，不是状压DP就是搜索。这道题显然是搜索，因为很容易枚举排列。

但是，如果仅仅是枚举所有美国人和中国人的排列，时间复杂度会达到 O((n!)2) ，只能过30%的数据。

如果只是枚举一个国籍的人的排列，那么只有 O(n!) 种情况，即362880。这是完全能够承受的。枚举排列用内置的next_permutation就好。

假设枚举的是美国人的排列，对于已知的一个排列怎样得到最优解？这是一个比较经典的二分图最大匹配模型，对于每个中国人，把他代表的点与不会使他产生矛盾的位置连边，那么用n减去最大匹配就是最小矛盾数。使用匈牙利算法，总时间复杂度 O(n2n!) 。

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#include
#include
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using namespace std;

int N,M,a[20],Ans=1e9,id;
bool mark[20][20];

int link[20],road[20];
bool Map[20][20];

bool Find(int x)
{
    int i;

    for(i=1;i<=N;i++)
    if(Map[x][i]&&road[i]!=id)
    {
        road[i]=id;
        if(link[i]==0||Find(link[i]))
        {
            link[i]=x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

void Solve()
{
    int i,j,tot=0,x,y;

    memset(Map,0,sizeof(Map));
    memset(road,0,sizeof(road));
    memset(link,0,sizeof(link));

    for(i=1;i<=N;i++)
    for(j=1;j<=N;j++)
    {
        x=a[j];
        y=j==N?a[1]:a[j+1];
        if(mark[i][x]||mark[i][y])continue;
        Map[i][j]=true;
    }

    id=0;
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        id++;
        if(Find(i))tot++;
    }

    Ans=min(Ans,N-tot);
}

int main()
{
    int i,tot;

    scanf("%d%d",&N,&M);

    for(i=1;i<=M;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        mark[x][y]=true;
    }

    for(i=1;i<=N;i++)a[i]=i;
    tot=1;for(i=1;i<=N;i++)tot*=i;

    for(i=1;i<=tot;i++)
    {
        Solve();
        if(i!=tot)next_permutation(a+1,a+N+1);
    }

    printf("%d",Ans);
}