函数的极限与连续性的关系

1.函数极限的定义：

假设f(x)是一个实函数，c是一个实数，那么
$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$$
表示f( x )可以任意地靠近L，只要我们让x充分靠近c。此时，我们说当x趋向c时，函数f( x )的极限是L。值得特别指出的是，这个定义在f( c )的时候同样是成立的。事实上，即使f( x )在c点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。—《维基百科》

简单说就是f(x)在c点的左右极限都存在且相等，如图

注意：函数f(x)在c点有无极限与在c点有无定义无关

2.函数在某一点连续的定义：

假设f(x)是一个实函数，定义域为R，f(x)在R中的某一点c处连续当且仅当以下的两个条件满足即可：

1. f(x)在c点有定义。
2. f(x)在c点有极限，且极限等与f(x)在该点的函数值，即 $$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$$

详细定义请参考维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0

3.函数的极限与连续性的关系：

由定义可得函数在某一点连续必有极限，有极限不一定连续

(1)函数在某一点连续一定有极限吗？

一定。根据定义函数在某一点连续必有极限

(2)连续函数一定有极限吗？

不一定。例如，函数 y=x 当 x 趋向与正无穷时，y 也趋向与正无穷，不存在极限。连续函数一定存在极限指的是趋向某个确定值的时候才存在极限，比如 x 趋向与3。

(3)函数在某一点有极限，则在该点一定连续吗？

不一定。比如，第一类可去间断点函数，间断点的极限存在，但函数在该点无定义,所以不连续。

(4)函数在某一点有极限，则该点一定有定义吗？有定义一定有极限吗？

不一定。根据函数极限的定义，可得函数在某一点有极限与在该点是否有定义并无关系。
不一定。比如分段函数。

(5)有界的连续函数一定有极限吗？

不一定。比如三角函数 sin(x)。