DP + 前缀和 - 牡牛和牝牛 - AcWing 1307

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约翰要带 N 只牛去参加集会里的展示活动，这些牛可以是牡牛，也可以是牝牛。

牛们要站成一排，但是牡牛是好斗的，为了避免牡牛闹出乱子，约翰决定任意两只牡牛之间至少要有 K 只牝牛。

请计算一共有多少种排队的方法，所有牡牛可以看成是相同的，所有牝牛也一样，答案对 5000011 取模。

输入格式

一行，输入两个整数 N 和 K。

输出格式

一个整数，表示排队的方法数。

数据范围

$1\le N\le 10^5,0\le K<N$

输入样例：

4 2

输出样例：

6

样例解释

6 种方法分别是：牝牝牝牝，牡牝牝牝，牝牡牝牝，牝牝牡牝，牝牝牝牡，牡牝牝牡。

---

分析：

$我们可以将牡牛视作1，牝牛视作0，$

$问题转化为：构造长度为n的01串，使得任意两个1之间的距离大于k，求满足条件的01串的方案总数。$

状态表示：

$f[i]：最后一个1放在第i位，满足条件的方案总数。$

$第i位放1，则1到i-k-1位可以任意，故f[i]={\sum }_{j=0}^{i-k+1}f[j]，其中i-k-1>=0。$

$若i-k-1<0，则f[i]=1，表示仅含一个1。$

$初始化边界：f[0]=1，能够正确计算出f[1]，当i-k-1<0时，我们累加f[0]即可。$

$由于要频繁求前缀和，我们可以边递推边计算前缀和数组s[i]={\sum }_{j=1}^{i}f[j]。$

$最后输出s[n]。$

代码：

#include
#include

using namespace std;

const int N=1e5+10, mod=5000011;

int n,k;
int f[N],s[N];

int main()
{
     
    cin>>n>>k;
    
    f[0]=s[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
     
        f[i]=s[max(i-k-1,0)];
        s[i]=(s[i-1]+f[i])%mod;
    }
    
    cout<<s[n]<<endl;
    
    return 0;
}