独立任务最优调度（双机调度）问题
用两台处理机 A A A和 B B B处理 n n n个作业。设 A A A和 B B B处理第 k k k个作业的时间分别为 a k a_k ak和 b k b_k bk。由于各个作业的特点和机器性能的关系，对某些作业，在 A A A上的处理时间长；而对另一些作业，在 B B B上的处理时间更长。一台处理机在某个时刻只能处理一个作业，而且作业处理是不可中断的，每个作业只能被处理一次。现在要找出一个最优调度方案，使得 n n n个作业被这两台处理机处理完毕的时间和最少。
本题是一个独立任务最优调度问题，也被称为双机调度问题，可以利用动态规划的思想解决。当完成 k k k个作业时，设机器 A A A花费了 x x x时间，机器 B B B花费时间的最小值肯定是 x x x的一个函数。设 F [ k , x ] F[k, x] F[k,x]表示完成k个作业且机器 A A A花费 x x x时间的条件下机器 B B B所花费时间的最小值，那么 F [ k , x ] = m i n { F [ k − 1 , x ] + b k , F [ k − 1 , x − a k ] } F[k, x] = min\{F[k-1, x] + b_k, F[k-1, x-a_k]\} F[k,x]=min{F[k−1,x]+bk,F[k−1,x−ak]}。其中 F [ k − 1 , x ] + b k F[k-1, x] + b_k F[k−1,x]+bk表示第k个作业由机器B来处理，完成前 k − 1 k-1 k−1个作业时机器 A A A所花费的时间还是 x x x。而 F [ k − 1 , x − a k ] F[k-1,x-a_k] F[k−1,x−ak]表示第 k k k个作业由机器 A A A来处理，此时完成前 k − 1 k-1 k−1个作业机器A花费的时间是 x − a k x-a_k x−ak。
根据 F F F的定义，我们知道 F [ n , x ] F[n, x] F[n,x]表示完成 n n n个作业且机器 A A A花费 x x x时间的条件下机器 B B B所花费时间的最小值。显然， 0 ≤ x ≤ ∑ k = 0 n a k 0 \le x \le \sum\limits_{k = 0}^{n}a_k 0≤x≤k=0∑nak，所以对于 x i ( x_i( xi(区间 [ 0 , ∑ k = 0 n a k ] [0, \sum\limits_{k = 0}^{n}a_k] [0,k=0∑nak]内的任一整数 ) ) )，总有一个 F [ n , x i ] F[n, x_i] F[n,xi]与其对应，那么 m i n { m a x { x i , F [ n , x i ] } } min\left\{max\{x_i, F[n, x_i]\}\right\} min{max{xi,F[n,xi]}}就是最后的结果。由于要处理每个作业 k k k，并且处理每个作业 k k k的时候都要循环 ∑ j = 0 k a j \sum\limits_{j = 0}^{k}a_j j=0∑kaj次，所以算法的时间复杂度为 O ( n ∑ k = 0 n a k ) O(n\sum\limits_{k = 0}^{n}a_k) O(nk=0∑nak)。
考虑以下包含 6 6 6个作业的例子，其中 a k = { 2 , 5 , 7 , 10 , 5 , 2 } a_k=\{2,5,7,10,5,2\} ak={2,5,7,10,5,2}，而 b k = { 3 , 8 , 4 , 11 , 3 , 4 } b_k=\{3,8,4,11,3,4\} bk={3,8,4,11,3,4}。下面对前两个作业进行简单的分析。
| 作业1 | 作业2 | 作业3 | 作业4 | 作业5 | 作业6 | |
| 处理机A | 2 | 5 | 7 | 10 | 5 | 2 |
| 处理机B | 3 | 8 | 4 | 11 | 3 | 4 |
对于第一个作业，机器$A$所花费时间$x$的取值范围是$0 \le x \le a_1$。当$x\lt0$时，设$F[1,x] = \infty$。$x=0$时，$F[1,0]=3$,此时$max(0,F[1,0])=3$，即机器$A$花费$0$时间，机器$B$花费$3$时间；$x=1$时，$F[1,1]=3$，$max(1,F[1,1])=3$；$x=2$时，$F[1,2]=0$，$max(2,F[1,2])=2$，此时作业$1$由机器$A$来处理，花费$2$时间，而机器$B$不处理作业。
对于第二个作业， x x x的取值范围是 0 ≤ x ≤ a 1 + a 2 0 \le x \le a_1 + a_2 0≤x≤a1+a2。当 x < 0 x\lt 0 x<0时，同样设 F [ 2 , x ] = ∞ F[2,x] = \infty F[2,x]=∞。
x = 0 x=0 x=0， F [ 2 , 0 ] = m i n { F [ 1 , 0 ] + b 2 , F [ 1 , 0 − a 2 ] } = m i n { 3 + 8 , ∞ } = 11 F[2,0]=min\{F[1,0]+b_2,F[1,0-a_2]\}=min\{3+8,\infty\}=11 F[2,0]=min{F[1,0]+b2,F[1,0−a2]}=min{3+8,∞}=11，所以 m a x ( 0 , 11 ) = 11 max(0,11)=11 max(0,11)=11；
x = 1 x=1 x=1， F [ 2 , 1 ] = m i n { F [ 1 , 1 ] + b 2 , F [ 1 , 1 − a 2 ] } = m i n { 3 + 8 , ∞ } = 11 F[2,1]=min\{F[1,1]+b_2,F[1,1-a_2]\}=min\{3+8,\infty\}=11 F[2,1]=min{F[1,1]+b2,F[1,1−a2]}=min{3+8,∞}=11，所以 m a x ( 1 , 11 ) = 11 max(1,11)=11 max(1,11)=11；
x = 2 x=2 x=2， F [ 2 , 2 ] = m i n { F [ 1 , 2 ] + b 2 , F [ 1 , 2 − a 2 ] } = m i n { 0 + 8 , ∞ } = 8 F[2,2]=min\{F[1,2]+b_2,F[1,2-a_2]\}=min\{0+8,\infty\}=8 F[2,2]=min{F[1,2]+b2,F[1,2−a2]}=min{0+8,∞}=8，所以 m a x ( 2 , 8 ) = 8 max(2,8)=8 max(2,8)=8；
x = 3 x=3 x=3， F [ 2 , 3 ] = m i n { F [ 1 , 3 ] + b 2 , F [ 1 , 3 − a 2 ] } = m i n { 0 + 8 , ∞ } = 8 F[2,3]=min\{F[1,3]+b_2,F[1,3-a_2]\}=min\{0+8,\infty\}=8 F[2,3]=min{F[1,3]+b2,F[1,3−a2]}=min{0+8,∞}=8，所以 m a x ( 3 , 8 ) = 8 max(3,8)=8 max(3,8)=8；
x = 4 x=4 x=4， F [ 2 , 4 ] = m i n { F [ 1 , 4 ] + b 2 , F [ 1 , 4 − a 2 ] } = m i n { 0 + 8 , ∞ } = 8 F[2,4]=min\{F[1,4]+b_2,F[1,4-a_2]\}=min\{0+8,\infty\}=8 F[2,4]=min{F[1,4]+b2,F[1,4−a2]}=min{0+8,∞}=8，所以 m a x ( 4 , 8 ) = 8 max(4,8)=8 max(4,8)=8；
x = 5 x=5 x=5， F [ 2 , 5 ] = m i n { F [ 1 , 5 ] + b 2 , F [ 1 , 5 − a 2 ] } = m i n { 0 + 8 , 3 } = 3 F[2,5]=min\{F[1,5]+b_2,F[1,5-a_2]\}=min\{0+8,3\}=3 F[2,5]=min{F[1,5]+b2,F[1,5−a2]}=min{0+8,3}=3，所以 m a x ( 5 , 3 ) = 5 max(5,3)=5 max(5,3)=5；
x = 6 x=6 x=6， F [ 2 , 6 ] = m i n { F [ 1 , 6 ] + b 2 , F [ 1 , 6 − a 2 ] } = m i n { 0 + 8 , 3 } = 3 F[2,6]=min\{F[1,6]+b_2,F[1,6-a_2]\}=min\{0+8,3\}=3 F[2,6]=min{F[1,6]+b2,F[1,6−a2]}=min{0+8,3}=3，所以 m a x ( 6 , 3 ) = 6 max(6,3)=6 max(6,3)=6；
x = 7 x=7 x=7， F [ 2 , 7 ] = m i n { F [ 1 , 7 ] + b 2 , F [ 1 , 7 − a 2 ] } = m i n { 0 + 8 , 0 } = 0 F[2,7]=min\{F[1,7]+b_2,F[1,7-a_2]\}=min\{0+8,0\}=0 F[2,7]=min{F[1,7]+b2,F[1,7−a2]}=min{0+8,0}=0，所以 m a x ( 7 , 0 ) = 7 max(7,0)=7 max(7,0)=7；
根据上面的序列，我们可以知道当 x = 5 x=5 x=5时，完成两个作业两台机器花费最少的时间为 8 8 8，此时机器 A A A花费 5 5 5时间，机器 B B B花费 3 3 3时间。此外，还可以看出当 x < a 2 x \lt a_2 x<a2时，该任务必定由机器 B B B处理，因为数组下标小于 0 0 0，是一个不合法的值。
根据上述思路，编写代码如下：
#include
#include
#include
#include
#define MAXN 1005
int a[MAXN];//机器A处理各作业的时间
int b[MAXN];//机器B处理各作业的时间
int F[MAXN][MAXN];//
int time[MAXN];//处理作业k所需要的最短时间
int n;
void read() {
printf("请输入作业数量：");
scanf("%d",&n);
printf("请输入机器A处理每个作业的时间：");
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d",&a[i]);
}
printf("请输入机器B处理每个作业的时间：");
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d",&b[i]);
}
}
int min(int x, int y) {
return x < y ? x : y;
}
int max(int x, int y) {
return x > y ? x : y;
}
int schedule() {
int sumA = a[1];
//k = 1的情况
for(int x = 0; x < a[1]; x++) {
F[1][x] = b[1];
}
F[1][a[1]] = min(b[1],a[1]);
//初始化
for(int i = 2; i <= n; i++) {
for(int j = 0; j <= n; j++) {
F[i][j] = INT_MAX;
}
}
//k >= 2的情况
for(int k = 2; k <= n; k++) {
sumA += a[k];
time[k] = INT_MAX;
for(int x = 0; x <= sumA; x++) {
if(x < a[k]) {
F[k][x] = F[k-1][x] + b[k];
} else {
F[k][x] = min(F[k-1][x] + b[k], F[k-1][x-a[k]]);
}
time[k] = min(time[k],max(x,F[k][x]));
}
}
return time[n];
}
int main(void) {
read();
printf("总的最少处理时间为：%d\n",schedule());
return 0;
}
运行结果如下：
