Bone Collector（01背包经典题目）

背包之01背包、完全背包、多重背包详解

PS：大家觉得写得还过得去，就帮我把博客顶一下，谢谢。

首先说下动态规划，动态规划这东西就和递归一样，只能找局部关系，若想全部列出来，是很难的，比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2，再把最后一层移动到3，最后再把其余的从2移动到3，这是一个直观的关系，但是想列举出来是很难的，也许当层数n=3时还可以模拟下，再大一些就不可能了，所以，诸如递归，动态规划之类的，不能细想，只能找局部关系。

 

 

 

1.汉诺塔图片

（引至杭电课件:DP最关键的就是状态，在DP时用到的数组时，也就是存储的每个状态的最优值，也就是记忆化搜索）

要了解背包，首先得清楚动态规划：

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构；

2. 递归地定义最优解的值；

3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值；

4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值，则步骤4可以省略。

背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包

在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

当前状态→ 以前状态

看了dd大牛的《背包九讲》(点击下载)，迷糊中带着一丝清醒，这里我也总结下01背包，完全背包，多重背包这三者的使用和区别，部分会引用dd大牛的《背包九讲》，如果有错，欢迎指出。

(www.wutianqi.com留言即可)

首先我们把三种情况放在一起来看：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

比较三个题目，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

先来分析01背包：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

其实就是把背包的上限从改成1-m，求i为上限的最大价值

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量v的背包时，

它有两种情况：

第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

（这是基础，要理解！）

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）
首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即：for i=1..N
现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值？

逆序！

这就是关键！

 

1
2
3
for i=1..N
   forv=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
 

 

 

分析上面的代码：当内循环是逆序时，就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的！
这里给大家一组测试数据：

测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

 

 

 

这个图表画得很好，借此来分析：

C[v]从物品i=1开始，循环到物品3，期间，每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。（请在草稿纸上自己画一画）

其中：根据是否把整个书包都装满，赋初值也不一样，只求最大价值，初始化f全都为0，要把整个书包装满f【0】= 0；其余都是-1；

这里以一道题目来具体看看：

滴答滴答---题目链接 

Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave … 
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ? 

 

Input

The first line contain a integer T , the number of cases. 
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

Output

One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 2 31).

Sample Input

1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1

Sample Output

14

先输入一个t，代表有t个样例。然后输入n和v，n代表有多少骨头。v代表背包体积，每样东西仅仅有一个，也就是说仅仅能取一次，刚開始看这道题的时候全然不知道怎么做。感觉会非常麻烦的样子，学长是作为例题给我们讲的。刚開始有点头绪，但详细还是全然不懂。后来自己专门刷这方面的专题。还算理解的比較好。动态规划的思想得要理解好，这题是用空间换时间。过程中会产生大量之间数据，嗯，就是这样。好了，回到这道题。我们用一维数组来存储数据，可是有些pdf文档比方背包九讲就是用二维数组来解说，都能够的。

如今进入正题：输入前面讲过了，如今讲核心代码

for(i=1;i<=n;i++)
   for(j=v;j>=c[i];j--)
        liu[j]=max(liu[j],liu[j-c[i]]+w[i]);
这三行就是核心。就像背包九讲里面说的，这个状态转移方程很重要，一定要理解，它联系了上一个状态和这一个状态，所以叫做状态转移方程！

为了更加清楚描写叙述执行过程中数组每一个值的详细变化，我在这里加了几行代码：

for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=v;j>=c[i];j--)
            {
                liu[j]=max(liu[j],liu[j-c[i]]+w[i]);
            }
            for(k=1;k<=v;k++)
                printf("%d ",liu[k]);
            printf("\n");
        }

我们以题目给的数据为例，执行结果例如以下：

 

从图中我们能够看出（结合上面的代码），程序循环五次，每次循环的结果都在动态变化。假设还不能理解，建议自己在草稿子上模拟i=1。i=2的时候数组变化的情况，就会非常好理解了。动态规划给我的感觉就是代码非常短，可是理解之后就非常easy了！！！

好了。讲完了，近期在做dp专题，会不定时更新做题的心得还有题解，大家一起学习。

以下贴下AC代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int main()
{   int t,n,V;
    cin>>t;
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&V);
        int va[1005],vo[1005],dp[1005];
        for(int i=0;i=vo[i];j--)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-vo[i]]+va[i]);
        }
        printf("%d\n",dp[V]);
    }
}