Catalan number

Definition

Catalan 数 Catn 按照这样定义：

Catn=(2nn)−(2nn+1)=1n+1(2nn)=(2n)!(n+1)!n!

The first 26 Catalan numbers

1, 2, 3, 4,  5,  6,   7,   8，   9,   10;
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862;

   11,    12,     13,     14,      15;
16796, 58786, 208012, 742900, 2674440;

     16,       17,        18,        19,         20;        
9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190;

        21,          22,          23,           24,            25,            26
6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452

OEIS

A000108

Properties

Catn+1=∑k=0nCatk Catn−k,n≥0

Catn+1=2(2n+1)n+2Catn

Applications in combinatorics

1. 二叉树数目问题。
2. n×n 的网格，不穿过对角线，走对角的路径数。
3. n 个 1 和 n 个 -1 组成 2n 项的序列，任意前缀和是正的，其方法数。
4. 找钱序列（50￥与100￥） 。
5. 括号序列数。
6. 凸多边形划分为三角形的方法数。