微积分学习-数列的极限01

0. 写在前面

• 此系列博文创建的本意是记录微积分学习过程中的一些重要知识点，每一篇博文会依据自己的理解不定期补充更新。
• 不积跬步无以至千里，不积细流无以成江海。

(1)  版本

• 2020年6月12日 Version 1

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1. 数列极限的概念

  设$\left\{a_n\right\}$是一个数列，任给$\forall \epsilon >0,\exists N>0$，当$n>N$时，都有$\left|a_n-a\right|<\epsilon$，则${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$（读作当n趋向于无穷大时，$a_n$的极限是a）。

2. 数列极限的性质

（1）唯一性： 若数列$\left\{a_n\right\}$的极限存在，则极限值唯一。
  定理2.1： 改变数列的有限项，不改变数列的收敛性与极限。
（2）有界性： 若数列$\left\{a_n\right\}$收敛，则$\left\{a_n\right\}$为有界数列。即存在正常数M，使得对一切正整数$n$，都有$\left|a_n\right|\le M$。
  推论： 若数列$\left\{a_n\right\}$无界，则数列$\left\{a_n\right\}$发散。
（3）设${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=b$，则存在$N$，当$n>N$时，都有$a_n<b_n$。
  推论（保号性）： 若${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a>0(a<0)$，则对于满足$0<\eta <a(a<\eta <0)$的任何常数$\eta$，存在$N_0$，当$n>N_0$时，都有$$a_n>\eta >0(a_n<\eta <0).$$
（4）不等式： 若$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$，且存在$N_0$，当$n>N$时，都有$a_n\ge b_n$，则$a\ge b.$
（5）四则运算法则： 如果$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$，则数列$\left\{a_n\pm b_n\right\},\left\{a_n{b}_n\right\},\frac{a_n}{b_n}(b\ne 0)$的极限都存在，且

• $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm b_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\pm b_n=a\pm b$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\cdot b_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=a\cdot b$
  特别地，当$k$为常数时，有$$k\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }k{a}_n=ka$$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n}=\frac{a}{b}(b\ne 0).$