[JLOI2016] 圆的异或并

Description

平面上给定 n 个圆，
两圆之间只存在相离和包含，
求这些圆的异或面积并。
异或面积并的定义是，
一个区域若在奇数个圆里面则计算其面积，
若在偶数个圆里面是不考虑。

Constraint

• n≤2×105

Analysis

首先一个结论是，
若一个圆被偶数个圆包含，
则加上它的面积，
若被奇数个圆包含，
则减去它的面积。

现在的问题转变为求每个圆被多少个圆包含，
因为题目中强调了两圆之间只存在相离和包含，
所以可以发现这个包含关系具有传递性，构成了树的结构。
我们把每个圆看成一个点，定义树上的父亲是包含当前圆的半径最小的圆，
这样每个点的深度就是我们所需要的信息。

现在考虑用扫描线求出包含当前圆的半径最小的圆。
定义两个圆之间的大小关系是，与当前扫描线 X 相交的 y 坐标的大小关系。
考虑插入一个新圆 Cu ，找到小于它的一个圆 Cv ，
若 Cv 包含 Cu 则找到其父亲，否则倍增找 Cv 的祖先，
显然圆之间的大小关系只有遇到插入删除事件时才会改变，
才需要改变扫描线 X 。

时间复杂度： O(nlogn) 。