BZOJ4557 JLoi2016 侦察守卫 【树形DP】*

BZOJ4557 JLoi2016 侦察守卫

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Description

小R和B神正在玩一款游戏。这款游戏的地图由N个点和N-1条无向边组成，每条无向边连接两个点，且地图是连通的。换句话说，游戏的地图是一棵有N个节点的树。游戏中有一种道具叫做侦查守卫，当一名玩家在一个点上放置侦查守卫后，它可以监视这个点以及与这个点的距离在D以内的所有点。这里两个点之间的距离定义为它们在树上的距离，也就是两个点之间唯一的简单路径上所经过边的条数。在一个点上放置侦查守卫需要付出一定的代价，在不同点放置守卫的代价可能不同。现在小R知道了所有B神可能会出现的位置，请你计算监视所有这些位置的最小代价。

Input

第一行包含两个正整数N和D，分别表示地图上的点数和侦查守卫的视野范围。约定地图上的点用1到N的整数编号。第二行N个正整数，第i个正整数表示在编号为i的点放置侦查守卫的代价Wi。保证Wi≤1000。第三行一个正整数M，表示B神可能出现的点的数量。保证M≤N。第四行M个正整数，分别表示每个B神可能出现的点的编号，从小到大不重复地给出。接下来N–1行，每行包含两个正整数U,V，表示在编号为U的点和编号为V的点之间有一条无向边。N<=500000,D<=20

Output

仅一行一个整数，表示监视所有B神可能出现的点所需要的最小代价

Sample Input

12 2
8 9 12 6 1 1 5 1 4 8 10 6
10
1 2 3 5 6 7 8 9 10 11
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6
4 7
7 8
8 9
9 10
10 11
11 12

Sample Output

10

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题目大意是给你一棵树上有一些染了色的点
然后你可以选一些点进行标记，一个标记了的点可以覆盖距离它自己不超过d的点
标记每个点有不同的花费
求最小的覆盖所有染色点的花费

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第一眼就能看出是一个树形DP
第二眼看见d的范围只有20非常小
第三眼发现ND的时间复杂度好像很合理

然后就开始构造DP
记录DP数组:
f[i][j] f [ i ] [ j ] 表示i号节点子树内所有点都覆盖了还可以向上覆盖j层的最小花费
g[i][j] g [ i ] [ j ] 表示i号节点子树内除了和i距离在j之内的点都被覆盖的最小花费

非常显然的得到 f[i][0]=g[i][0] f [ i ] [ 0 ] = g [ i ] [ 0 ] 大概是在对f和g数组进行转化的时候需要用到

又发现一个很迷人的性质：
一个点i可以向上覆盖j层意味着这个点可以向下覆盖j层
分一下类讨论一下就好了，还挺易证的

然后我们就可以用 f[u][i]+g[v][i] f [ u ] [ i ] + g [ v ] [ i ] 来描述一个合法的覆盖全部区间的状态

然后得到非常显然的递推:
f[u][i]=min(f[u][i]+g[v][i],g[u][i+1]+f[v][i+1]) f [ u ] [ i ] = m i n ( f [ u ] [ i ] + g [ v ] [ i ] , g [ u ] [ i + 1 ] + f [ v ] [ i + 1 ] )
然后注意可以向上覆盖j一定是可以向上覆盖j-1的，所以利用这个关系更新一下

然后对于g数组,直接累加吧，因为是保证向下j层都不被计算的

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#include
using namespace std;
#define N 500010
#define D 22
#define INF 0x3f3f3f3f
struct Edge{int v,next;}E[N<<1];
int head[N],tot=0;
int n,m,d,w[N];
int f[N][D],g[N][D],dp[N];
int mark[N];
void add(int u,int v){
    E[++tot]=(Edge){v,head[u]};
    head[u]=tot;
}
void dfs(int u,int fa){
    if(mark[u])f[u][0]=g[u][0]=w[u];
    for(int i=1;i<=d;i++)f[u][i]=w[u];
    f[u][d+1]=INF;
    for(int i=head[u];i;i=E[i].next){
        int v=E[i].v;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        for(int j=d;j>=0;j--)f[u][j]=min(f[u][j]+g[v][j],f[v][j+1]+g[u][j+1]);
        for(int j=d;j>=0;j--)f[u][j]=min(f[u][j],f[u][j+1]);
        g[u][0]=f[u][0];
        for(int j=1;j<=d;j++)g[u][j]+=g[v][j-1];
        for(int j=1;j<=d;j++)g[u][j]=min(g[u][j],g[u][j-1]);
    }
    g[u][d+1]=min(g[u][d+1],g[u][d]);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&d);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x;scanf("%d",&x);
        mark[x]=1;
    }
    for(int i=1;i
        int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%d",f[1][0]);
    return 0;
}