电路分析里的高等数学

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电路分析里的高等数学

一元二次方程:

一元指的是只有一个未知说,二次指的是未知数的最高次是二次。总结下来的形式就是: a x 2 + b x + c = 0 ax^{2}+bx+c=0 ax2+bx+c=0。该方程的解是: x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2ab±b24ac
由上面的公式可以看到,该方程是有两个根,但是当 b 2 − 4 a c b^2-4ac b24ac等于0时,前面的±号也就没了意义,此时实际上只有一个跟,当 b 2 − 4 a c b^2-4ac b24ac小于0时,会发生什么呢?这是要引入复数跟虚数的概念(下面的小标题)。我们看到,当 b 2 − 4 a c b^2-4ac b24ac小于0时会有两个复数解。

复数与虚数:

虚数 j 有一个特点: j 2 = − 1 j^2=-1 j2=1,复数就是实数与虚数的组合: z = a + b j z=a+bj z=a+bj。了解虚数及复数的概念对后面的论述有帮助。

二阶常系数微分方程:

二阶常系数微分方程的形式: y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y^{''}+py^{'}+qy=f(x) y+py+qy=f(x)
f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0时,我们称该方程为二阶常系数齐次微分方程。下面解析一下二阶常系数微分方程的解法。
首先导出齐次微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^{''}+py^{'}+qy=0 y+py+qy=0的特征方程: r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0,也就是上面的一元二次方程。求出特征方程的跟即可得出微分方程的通解,要想得到解,还需要两个初始条件,例如: y ′ ( 0 ) = 5 y^{'}(0)=5 y(0)=5
y ( 0 ) = 6 y(0)=6 y(0)=6

方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的根 方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^{''}+py^{'}+qy=0 y+py+qy=0 的通解
r 1 ≠ r 2 r_{1}≠r_{2} r1̸=r2 y = C 1 e r 1 ∗ x + C 2 e r 2 ∗ x y=C_{1}e^{r_{1}*x}+C_{2}e^{r_{2}*x} y=C1er1x+C2er2x
r 1 = r 2 = r r_{1}=r_{2}=r r1=r2=r y = ( C 1 + C 2 x ) e r ∗ x y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r*x} y=(C1+C2x)erx
一对共轭副根 r 1 = a + b j r_{1}=a+bj r1=a+bj r 2 = a − b j r_{2}=a-bj r2=abj y = e a ∗ x ( C 1 c o s b x + C 2 s i n b x ) y=e^{a*x}(C_{1}cosbx+C_{2}sinbx) y=eax(C1cosbx+C2sinbx)

举例假如有方程: y ′ ′ − 5 y ′ + 6 y = 0 y^{''}-5y^{'}+6y=0 y5y+6y=0 特征方程: r 2 − 5 r + 6 = 0 r^2-5r+6=0 r25r+6=0解得: r 1 = 2 r_{1}=2 r1=2 r 2 = 3 r_{2}=3 r2=3那么微分方程的通解就是: y = C 1 e 2 ∗ x + C 2 e 3 ∗ x y=C_{1}e^{2*x}+C_{2}e^{3*x} y=C1e2x+C2e3x
如果此时要求出解,换需要知道y(0)的值以及y’(0)的值。
假设:
y ( 0 ) = 3 y(0)=3 y(0)=3 y ′ ( 0 ) = 8 y'(0)=8 y(0)=8
则:C1=1,C2=2。解就是:
y = e 2 ∗ x + 2 e 3 ∗ x y=e^{2*x}+2e^{3*x} y=e2x+2e3x

电路中的应用

我们先来看一下《电路》第5版教材里的一个例题:
在这里插入图片描述
电路分析里的高等数学_第1张图片
这个题的解其实就用到了微分方程的知识:
上面电路的数学模型推导如下:
电路分析里的高等数学_第2张图片

电路分析里的高等数学_第3张图片

怎么样?上面的方程是不是很熟悉,按理说这个方程属于非齐次方程,但是要求其解,还得先求其对应齐次方程的特征方程: r 2 + 200 r + 20000 = 0 r^2+200r+20000=0 r2+200r+20000=0
求得解为: r 1 = − 100 + 100 j r_{1}=-100+100j r1=100+100j r 2 = − 100 − 100 j r_{2}=-100-100j r2=100100j
对应微分方程的通解为: i ( t ) = e − 100 ∗ t ( C 1 c o s 100 t + C 2 s i n 100 t ) i_{(t)}=e^{-100*t}(C_{1}cos100t+C_{2}sin100t) i(t)=e100t(C1cos100t+C2sin100t)
特解要看0是不是特征方程的根,上面的例子明显不是,那么其特解:
i ( t ) = A i_{(t)}=A i(t)=A
y = A y=A y=A带入微分方程:
在这里插入图片描述
得:20000A=20000。A=1
那么特解为: i ( t ) = 1 i_{(t)}=1 i(t)=1
非齐次微分方程的解等于特解加对应齐次方程的解: i ( t ) = e − 100 ∗ t ( C 1 c o s 100 t + C 2 s i n 100 t ) + 1 i_{(t)}=e^{-100*t}(C_{1}cos100t+C_{2}sin100t)+1 i(t)=e100t(C1cos100t+C2sin100t)+1
将初始条件: i ( 0 ) = 2 i_{(0)}=2 i(0)=2 i ( 0 ) ′ = u c ( 0 ) = 0 i'_{(0)}=u_{c}(0)=0 i(0)=uc(0)=0
带入解得: C 1 = 1 C_1=1 C1=1 C 2 = 1 C_2=1 C2=1
最后得出解:
i ( t ) = e − 100 ∗ t ( c o s 100 t + s i n 100 t ) + 1 i_{(t)}=e^{-100*t}(cos100t+sin100t)+1 i(t)=e100t(cos100t+sin100t)+1

参考文献:《电路》第5版 原著:邱关源 修订:罗先觉

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