77 最长公共子序列

描述

给出两个字符串，找到最长公共子序列(LCS)，返回LCS的长度。

说明

最长公共子序列的定义：

最长公共子序列问题是在一组序列（通常2个）中找到最长公共子序列（注意：不同于子串，LCS不需要是连续的子串）。该问题是典型的计算机科学问题，是文件差异比较程序的基础，在生物信息学中也有所应用。
https://en.wikipedia.org/wiki/Longest_common_subsequence_problem

样例

给出"ABCD" 和 "EDCA"，这个LCS是 "A" (或 D或C)，返回1

给出 "ABCD" 和 "EACB"，这个LCS是"AC"返回 2

标签

最长公共子串

动态规划(DP)

思路：动态规划。创建二维数组dp【m+1】【n+1】，并初始化元素值为0。dp【i】【j】表示 A 串 0~i-1 与 B 串 0~j-1 的LCS。

状态转移方程：

固定一个字符串，遍历另一个字符串，如果A【i-1】==B【j-1】，dp【i】【j】=dp【i-1】【j-1】+1；

否则，说明 A【i-1】和 B【j-1】不可能都是最长公共子序列中的元素，所以应在A 串 0~i-1 与 B 串 0~j-2 或 A 串 0~i-2 与 B 串 0~j-1 中寻找LCS，二者中较大者即为dp【i】【j】。即 dp【i】【j】= max（dp【i】【j-1】，dp【i-1】【j】）；

最后返回dp【m】【n】，A 串 0~m-1 与 B 串 0~n-1 的LCS。

【状态转移方程是递增或者不变的，所以后面位置的LCS一定大于或者等于前面位置的，所以最后一个元素一定是两个字符串的LCS最大值。】

AC代码：

class Solution {
public:
    /**
     * @param A: A string
     * @param B: A string
     * @return: The length of longest common subsequence of A and B
     */
    int longestCommonSubsequence(string &A, string &B) {
        // write your code here
    if (A.size()==0||B.size()==0)
     {
         return 0;
     }
     int n1=A.size(),n2=B.size();
     vectorint>> dp(n1+1,vector<int>(n2+1,0));
     for (int i=1;i<=n1;i++)//小于等于;
     {
         for (int j=1;j<=n2;j++)
         {
             if (A[i-1]==B[j-1])
             {
                 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
             }
             else
             {
                 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
             }
        
         }
     }
     return dp[n1][n2];
    
    }
};

动态数组大小为A.size()+1 × B.size()+1 ， dp【i】【j】表示 A 串 0~i-1 与 B 串 0~j-1 的LCS 而不是 A 串 0~i 与 B 串 0~j 是为了计算方便，如果是后者，需要先计算dp数组的第一行和第一列，代码复杂度增加。

参考：

经典算法——最长公共子序列与求解两个字符串的最长公共子序列讲解详细易懂

其中链接2摘抄部分原文如下，并添加绿字以便更好的理解：

二，算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(X_n-1，Y_m-1)

LCS(X_n-1，Y_m-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是X_n-1和 Y_m-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(X_n-1，Y_m) 和 LCS(X_n，Y_m-1)

因为序列X 和序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能都是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(X_n-1，Y_m)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(X_n，Y_m-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max{LCS(X_n-1，Y_m)，LCS(X_n，Y_m-1)}

由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题转化成了三个规模更小的子问题。

动态规划基础篇之最长公共子序列问题

最长公共子序列

https://blog.csdn.net/ljlstart/article/details/48350223

PS：最开始想到了动态规划，然而动态规划数组定义成了一维，还思考了半天怎么计算状态转移方程，用两个字符变量保存字符串上一次相等时的值……后来当然是做不下去了。看了网上答案，要用二维数组，顿时恍然大悟，这种求两个串公共字符的问题当然是二维数组了，题目做的还是不够多，反应不过来。

77 最长公共子序列

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