两字符串最长公共子序列--动态规划
首先碰到求两字符串最长公共连续子串的问题，然后想到原先做过的求两字符串最长公共子序列问题，所以又把算法导论上的解法看了一下。
这两个问题是不同的问题，求最长公共子序列不要求求得的子字符串时连续的，比如说ACB和AB的最长公共子序列就是AB。而最长公共连续子串，要求求得的子串在两个字符串中必须是连续出现的，还是ACB和AB他们的最长公共子串是A或者是B。这里说的是求两字符串的最长公共子序列，用的是动态规划。
动态规划求解最优化问题应该具备的两个要素：最优化子结构和子问题重叠。我的理解就是碰到问题先看看能不能把大问题化解为小问题解决，这就是我对最优子结构的理解。子问题重叠意思就是说，你在求子问题的时候一些工作是重复做了，看看能不能想办法避免以下。
对于动态规划的运用我还不是很熟练，但我在碰到问题时往往是这样做的：先判断原先的问题能不能化解为小问题，如果能化为小问题的话，怎么求解，试着写一下（递推）公式。如果递推公式写成功了的话，恰巧符合动态规划求解。自然而然就可以应用动态规划了。动态规划的应用最主要的就是写出递推公式。
下面言归正传，求两个字符串的最长公共子序列。借用算法导论上的表示方法，给定一个字符串X=
现在就想怎么把问题变为为小问题呢？怎么解决这个问题呢？
关键要找到问题的突破口，先不要管最终解决，先想一想怎么吧问题花姐的规模小一些。我先分别拿两个字符串的最后一个字符“开刀”，先拿他们比较
1）我们可以首先比较x_m和y_n如果这两个字符相同，那么x_m = y_n一定是最长公共子序列中的一个字符。那么我们的问题就是求X_(m-1) =
2）如果x_m ！= y_n，我们要求X和Y的最长公共最序列，就转为求两个子问题，一个是求X_m和Y_(n-1)的最长公共子序列，另一个是求X_(m-1)和Y_n的最长公共子序列。取两者中最长的那个就是问题的解。
至此，大问题就化为小问题的，具体我们可以写递推公式。
假如用c[i,j]表示X_i和Y_j序列的最大公共子序列的长度的话
c[i,j] = 0 如果i == 0或者j == 0
c[i,j] = c[i - 1][j - 1] 如果x_j == y_j
c[i,j] = max(c[i-1,j], c[i, j-1]) 如果x_i ！= y_j
有了递推公式，定义对应递推公式的数组，就可以求得最终的答案。
#include
#include
#include
using namespace std;
int max(const int& a, const int& b) {
return (a > b ? a : b);
}
//模板函数用来输出二维数组
template
void print_vector(const vector >& vec) {
for(size_t i = 0; i != vec.size(); i++) {
for(size_t j = 0; j != vec[i].size(); j++) {
cout << vec[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
//getLCS函数用来求两个字符串的最大公共子序列，并返回其长度
int getLCS(const string& str1, const string& str2){
if(str1.empty() || str2.empty()) {
return 0;
}
size_t len1 = str1.size();
size_t len2 = str2.size();
//lcs用来保存两字符串str1[0,...,row]和str1[0,...,col]的最长公共序列的长度
vector > lcs(len1 + 1, vector (len2 + 1, 0));
//index用来保存如何找到最长公共子序列
vector > index(len1 + 1, vector (len2 + 1, '-'));
for(size_t row = 0; row != len1 + 1; row++) {
for(size_t col = 0; col != len2 + 1; col++) {
if(row == 0 || col == 0) {
lcs[row][col] = 0;
continue;
}
if(str1[row - 1] == str2[col - 1]) {
lcs[row][col] = lcs[row - 1][col - 1] + 1;
index[row][col] = '=';
}
if(str1[row - 1] != str2[col - 1]) {
//lcs[row][col] = max(cls[row - 1][col], cls[row][col - 1]);
if(lcs[row - 1][col] > lcs[row][col - 1]) {
lcs[row][col] = lcs[row - 1][col];
index[row][col] = 'u';
}
else {
lcs[row][col] = lcs[row][col - 1];
index[row][col] = 'l';
}
}
}
}
cout << "lcs vector is " << endl;
print_vector(lcs);
cout << "index vector is " << endl;
print_vector(index);
return lcs[len1][len2];
}
int main(void)
{
string str1, str2;
cin >> str1 >> str2;
int len = 0;
len = getLCS(str1, str2);
cout << "最长公共子序列的长度是：" << len << endl;
return 0;
}