RSA加密算法简介

1978年就出现了这种算法，它是第一个既能用于数据加密 
也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算 
法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, AdiShamir 和 
Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。 

    RSA的安全性依赖于大数分解。公钥和私钥都是两个大素数 
（ 大于 100个十进制位）的函数。据猜测，从一个密钥和密文 
推断出明文的难度等同于分解两个大素数的积。   

  密钥对的产生:选择两个大素数，p 和q 。计算：   
n = p * q 
然后随机选择加密密钥e，要求 e 和 ( p - 1 ) * ( q - 1 ) 
互质。最后，利用Euclid 算法计算解密密钥d, 满足   

       e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) ) 

其中n和d也要互质。数e和 
n是公钥，d是私钥。两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任 
何人知道。 加密信息 m（二进制表示）时，首先把m分成等长数据 
块 m1 ,m2,..., mi ，块长s，其中 2^s <= n, s 尽可能的大。对 
应的密文是： 

ci = mi^e ( mod n ) ( a ) 

解密时作如下计算： 

mi = ci^d ( mod n ) ( b ) 

RSA 可用于数字签名，方案是用 ( a ) 式签名， ( b ) 
式验证。具体操作时考虑到安全性和 m信息量较大等因素，一般是先 
作 HASH 运算。 

RSA 的安全性。 
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理 
论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。假设存在 
一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， 
RSA的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显 
然的攻击方法。现在，人们已能分解140多个十进制位的大素数。因此， 
模数n必须选大一些，因具体适用情况而定。   

RSA的速度: 
由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上100倍，无论 
是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据 
加密。   

RSA的选择密文攻击: 
RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装 
(Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信 
息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保 
留了输入的乘法结构： 

( XM )^d = X^d *M^d mod n 

前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征 
--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有 
两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体 
任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不 
对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way HashFunction 
对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不 
同类型的攻击方法。 　　 

RSA的公共模数攻击。 
若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险 
的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互 
质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥 
为e1和e2，公共模数是n，则： 

C1 = P^e1 mod n 

C2 = P^e2 mod n 

密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。 

因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足： 

r * e1 + s * e2 = 1 

假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则 

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n 


另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数 
的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它 
成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享 
模数n。 

RSA的小指数攻击。 有一种提高 
RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度 
有所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。 


RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。 
RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各 
种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。 
RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难 
度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性 
能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。 

RSA的缺点主要有： 
A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次 
一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 
以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级； 
且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。 
目前，SET(Secure Electronic Transaction)协议中要求CA采用2048比特长 
的密钥，其他实体使用1024比特的密钥。