LeetCode 372. Super Pow解题思路(超详细)

这道题实际上是考察快速幂，所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

我们先从简单的例子入手：求。

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

  这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过。

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
}
ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
   ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
   ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为mod c而不是原来的 mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
   if(b % 2 == 1)
      ans = (ans * a) % c;
   b = b/2;
   a = (a * a) % c;
}

以上思路是转自http://www.doc88.com/p-5836182437827.html

下面是我根据这个思路实现的程序(C++)：

class Solution {
public:

    bool notZero(vector& b) {
        for(int i = b.size()-1; i >= 0; i--) {
            if(b[i] > 0) return true;
        }
        
        return false;
    }
    
    void div(vector& b) {
        int tmp = 0;
        for(int i = 0; i < b.size(); i++) {
            b[i] += tmp*10;
            tmp = b[i] % 2;
            b[i] = b[i] / 2;
        }
    }
    
    int superPow(int a, vector& b) {
        int ans = 1;
        
        a = a % 1337;
        
        while(notZero(b)) {
            if(b[b.size()-1] % 2 != 0) ans = (ans * a) % 1337;
            
            div(b);
            
            a = (a * a) % 1337;
        }
        
        return ans;
    }
};

不过很遗憾，提交的时候显示Time Limit Exceeded。。。不过打的思路是没问题的。