《图论及其应用》学习笔记（平面图）

G可嵌入平面(可平面图)：边不交叉。

G的一个平面嵌入：边不交叉的一种画法、

平面图：G的平面嵌入表示的图。

面：平面图G，将平面分成若干个区域。每个区域的内部，连同边界则是面。

外部面：无界的区域。

每个平面图，有且仅有一个外部面。

面f的次数：构成f的边界的次数，割边计算两次。记为deg(f)。

例子：

ps：无论是不是割边，边e都被计算了两次。

ps：有两个面，必定会形成圈。

ps：又是简单图，又是3个点以上，还连通，不形成圈，则外部面的次数肯定大于3，形成圈，内部和外部面的次数，也至少为3。少于3个点的连通分支，边数始终是少于点数的。

ps：面由长度为l的圈围成，则面的次数，必定为l。

例子：

完全偶图形成的圈，至少由3条边构成。

 

 

一些特殊平面图及平面图的对偶图：

极大可平面图：对简单可平面图G，对任意两个不相邻的点，添加一条边，就会导致产生一个不可平面图。

ps：、就为极大可平面图。

极大平面图：极大可平面图的平面嵌入。

 

ps：充分性证明估计很难。因为G是简单图，各面的次数，只能从3开始。

ps：由以上推论知，对一个极大平面图G，当其点数n给定时，G的边数和面数也就确定了。

但点数相同的极大平面图，不唯一（世界，待解决）。

 

极小不可平面图：对不可平面图G，任意删去一条边，所得的图为，可平面图。

ps：和均为，极小不可平面图。

 

外可平面图：一个可平面图，存在所有点都在一个面上的，平面嵌入。

外平面图：外可平面图的，任一外平面嵌入。

基本非外可平面图：和。

极大外可平面图：对一个简单，外可平面图G，若对G的任意两个不相邻的顶点，增加一条边，就会得到不是外可平面图。

 

极大外平面图：外部面的周界，是由多边形组成，内部面均由三角形围成。

由极大外平面图，构造极大平面图。

ps：为什么，G一定有一个度为2的顶点u呢？

 

对偶图：对平面图G作对偶图，把面换成点，把面与面的公共边换成连线，把只在一个面上的边，换成在这面点上的环。

对偶图与其平面图之间的关系：

ps：不经过G的顶点，意味着在中，不经过任何面。

 

不一定等于。但G连通时，=。

同构的平面图，可以有，不同构的对偶图。