leetcode习题集——62. 不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28

算法1

public class P62_UniquePaths {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m<1||n<1){
            return 0;
        }
        if(m<2||n<2){
            return 1;
        }
        int min = Math.min(m-1,n-1);
        return arrange(m+n-2,min)/ arrange(min,min);
    }
    private int arrange(int a, int b){
        if(b==1){
            return a;
        }
        return a* arrange(a-1,b-1);
    }
}

思想：
利用和数学中的排列组合思想，在mxn的方格中一共需要走m+n-2步，从中挑选出n-1步向右即可。即
C(m+n-2,n-1)。此做法会导致阶乘时整数溢出。

算法2

int count = 0;
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        getToEnd(m,n);
        return count;
    }
    private void getToEnd(int m,int n){
        if(m>1&&n>1){
            getToEnd(m-1,n);
            getToEnd(m,n-1);
        }else if(m==1||n==1) {
            count++;
            return;
        }
    }

思路：
递归做法，先向右递归，在向下递归，此做法会超时。

算法3

public class P62_UniquePaths3 {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] box = new int[m][n];
        for(int i = 0;i<m;i++){
            box[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 0;i<n;i++){
            box[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 1;i<m;i++){
            for(int j = 1;j<n;j++){
                box[i][j] = box[i-1][j]+box[i][j-1];
            }
        }
        return box[m-1][n-1];
    }
}

思路：动态规划

1. 定义box数组，box[i-1][j-1]表示ixj的方格所有方法条数。
2. box[0][j]，box[i][0]均为1
3. box[i][j] = box[i-1][j]+box[i][j-1]依次递推