边连通度结合正则图在极大平面图中的求解运用

设G为n(n≥4)阶极大平面图，证明G的对偶图G*是2边-连通的3-正则图。

分析与解：

         根据定义，3-边连通的图自然也是2-边连通的和1-边连通的（注意，证明2-边连通就是证明删除1条边后还连通就可以了，并不要求证明“边连通度为2”）。

        3-正则图不一定是就是3-边连通的，反例如下：
  *  ──  *
 / /    / /  
*   *  *   *
 / /    / /
  *  ──  *

         课本定义理解要透,k-边连通是指最小边连通度>=k ,即可 ,3-正则图最少删除2条边后连同分支才可>=2,故为2-边连通

         边连通度>=K就说图是K连通的,并不是你想的边连通度=2,比如说该题连通度=5.图是1边连通的也是2边连通的也是3边连通的...要证明它是2边连通的只要证明删除任一条边还是连通的即可

     (1)由对偶图的性质可知，G*连通。又因为极大平面图均为简单图，所以G中无环，
故G*中无桥，于是G*2边—连通。

     (2)由于G的阶数n≥4，由定理17.7可知G的每个面的次数均为3，因而G*为简单平面
图，且每个顶点的度数均为3，故G*为3—正则图。

另附：设n阶m条边的平面图是自对偶图，证明m=2n-2
设G*为G的对偶图，因为G为自对偶图，所以

　　　　G*G(同构)

　　由于对偶图都是连通的平面图，因而G连通，所以满足欧拉公式，即

　　　　n-m+r=2

其中r为G的面数。并且n*=n，由定理17.17可知，r=n*=n，代入欧拉公式，得

        n-m+n=2

于是，解得

        m=2n-2