强连通分量(Strongly_Connected_Components)

一、基本概念

强连通图（Strongly Connected Graph）是指在有向图G中，如果对于每一对vi、vj，vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。

有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。

连通分量：对于图G来的一个子图中，任意两个点都可以彼此到达，这个子图就被称为图G的连通分量（一个点就是最小的连通分量）

最大连通分量：对于图G的一个子图，这个子图为图G的连通分量，且是图G所有连通分量中包含节点数最多的那个，即为G的最大联通分量

时间戳：搜索时第几个搜索到这个点。

二、定理

定理：一个有向图G是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个节点一次。

证明：

（1）充分性：如果G中有一个回路，它至少包含每个节点一次，则G中任两个节点都是互相可达的，故G是强连通图。

（2）必要性：如果有向图是强连通的，则任两个节点都是相互可达。故必可做一回路经过图中所有各点。若不然则必有一回路不包含某一结点v，并且v与回路上的个节点就不是相互可达，与强连通条件矛盾 。

三、算法

（1）Tarjan 算法

思想：

low，dfn。dfn表示这个点的时间戳，而low代表这个点所能到达的最小的时间戳，开始low都等于dfn，但会经过不断更新而减少。

从1节点进行深度优先搜索，途中用树（一个转化为栈的树）维护。

当遇到一个点时，有如下判断：

1、如果这个点没有访问过，就将这个点加入树（栈）

2、如果这个点访问过，且在树（栈）里，与这个点的low比较，更新自己的low

返回时更新low

当一个点遍历所有的边后这个点的low还是等于dfn，将个点及以上出栈，这个点及栈以上的点构成一个连通分量。

伪代码：

void tarjan(int 当前点)
{
    这个点的low=dfn=时间戳;
    将这个点入栈;
    标记这个点入栈;
    枚举这个点连接的所有边
    {
        如果目标点没有被访问过
        {
            tarjan(目标点);
            更新当前点的low; 
        }  
        如果目标点被访问过
        {
            更新当前点的low; 
        } 
    }
    如果当前点的low==dfn
    {
        将这个点及栈以上的点出栈，标记成一个强连通分量; 
        ans++; 
    } 
}

C++版本一

//in:时间戳下标

//dfn[i]:i节点的时间戳

//low[i]:i所能到达的最小的时间戳

//vis[i]:i是否在栈里

//head[i],next[i],to[i]:邻接表
void tarjan(int u)
{
    in++;
    dfn[u]=in;
    low[u]=in;
    S.push(u);
    vis[u]=1;
    for(int e=head[u];e;e=next[e])
    {
        if(!dfn[to[e]])
        {
            tarjan(to[e]);
            low[u]=min(low[to[e]],low[u]);
        }
        else if(vis[to[e]])
            low[u]=min(low[u],dfn[to[e]]);
    }
    if(low[u]==dfn[u])
    {
        while(!S.empty() && S.top()!=u)
        {
            vis[S.top()]=0;
            S.pop(); 
        } 
        vis[u]=0;
        S.pop();
        ans++;
    }
}

 

 

（2）Korasaju 算法

 

 

四、例题

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1726（题解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/89790404）

五、参考资料

https://www.cnblogs.com/five20/p/7594239.html

https://www.cnblogs.com/shadowland/p/5872257.html