几个常见的DP问题及解法

前言

记录一些最近遇到的DP问题，并给出解法。只会记录我知道的最优解法（一般是时间最优），并贴出源码。有OJ的还会贴上地址。

1. 求字符串的最长不重复子串的长度

举例：

• abcabcbb，返回abc；
• bbbbb，返回b；
• pwwkew，返回wke。注意pwke是子序列，不是子串。

问题分析：
记字符串存放在字符数组cs中，遍历cs的下标为i。分析可知，想求截止到i的最长不重复子串的长度，只要从i向左，找到第1个重复的字符，其右边的数标记为left，则所求长度就是i-left+1与之前求得的结果中的最大值。举例说明：

• 当字符串为abcdace，而i=5时，left应该为3。此时i-left+1=3,而之前求得的最长不重复子串的长度是4>3，所以i=5时的结果是4。

经分析可知，该算法需要在每一次遍历时，向左查找0~i个不等的元素，所以时间复杂度是O(n2)，空间复杂度O(1)。
上述方案尚有优化的空间，是因为在寻找left时采用了简单的遍历。经过分析可以知道left的变化是有规律的。只要知道与cs[i]相同的字符在上一次出现的位置，记为k，则left=k+1（k>=left的前提下）。所以，我们需要一个数组，记录所有元素最后出现的下标，就可以将查找left的时间从O(n)降到O(1)，此时时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)（增加了长度为256的定长辅助数组，所以空间复杂度不变）。

实现代码如下：

public class Solution {
    public int lengthOfLongestSubstring(String str) {
        if(str==null||str.length()==0)
            return 0;
        char[] cs = str.toCharArray();
        int[] charMap = new int[256];
        Arrays.fill(charMap , -1);
        int max = 0;
        int left = 0;
        for(int i=0;iif(charMap[cs[i]]>=left)
                left = charMap[cs[i]]+1;
            int tmp = i-left+1;
            if(tmp>max)
                max = tmp;
            charMap[cs[i]]=i;
        }
        return max;
    }
}

代码在LeetCode上运行通过。

2. 两个字符串的最长公共子串

最朴素的解法，就是遍历两个字符串的所有子串，然后比较是否相等。两层嵌套循环，再加上字符串的比较，时间复杂度是O(m*n*n)，其中m与n是两个字符串的长度，且m>n。肯定有优化的方法。
考虑使用二维数组help[i][j]，其中i是str1的下标，j是str2的下标，help[i][j]记录的是str1的第i个字符与str2的第j个字符是否相等。举例说明，字符串abccba与deccb，其help数组为：

很明显，最长公共子串就是help中对角线上全为1的最长序列，就是图中的红色部分。这种解法使用了一个m*n的辅助数组，将时间复杂度降到了O(MN)。
其实，help数组并不需要m*n，只需要n就够了。如果将help数组记录成如下方式：

这样一来，其实我们在每轮遍历时，只需要记录help的一行就可以了，如图中红框所示。下一趟遍历可以覆盖掉上一趟的结果，只要将有可能是最长的位置记录下来即可，这里要使用两个变量end与length。end记录help数组当前的下标，length记录对应的公共子串的长度。在最后一轮遍历结束后，只需要返回从end-length+1到end的子串，就可以了。
下面是代码：

public String getLongestCommonSubstring(String str1, String str2){
    //check input parameters
    if(str1==null||str2==null)
        return null;
    //find out the bigger string and the smaller one
    String big = str1.length()>=str2.length()?str1:str2;
    String small = str1.length()//get the end of the longest common substring in small
    int[] help = new int[small.length()];
    int end = 0;
    int length = 0;
    for(int i=0;ifor(int j=small.length()-1;j>=0;j--){
            if(big.charAt(i)==small.charAt(j)){
                if(j==0)
                    help[j]=1;
                else{
                    help[j]=help[j-1]+1;
                    if(help[j]>length){
                        length = help[j];
                        end = j;
                    }
                }
            }else
                help[j]=0;
        }
    }
    //get the longest common substring and return it
    if(length==0)
        return null;
    else
        return small.substring(end-length+1,end+1);
}

代码在华为OJ上测试通过，当然要符合他们的规范。

3.