基于Master定理的时间复杂度分析

定理是一种求解递归型程序的时间复杂度的方法。在介绍定理前，我们先引入时间复杂度的概念。

引言——时间复杂度

时间复杂度是衡量程序运行快慢的一个指标，为一个程序语句的执行次数。本文中我们介绍的是渐进的时间复杂度，即对于一个具有多项式的时间复杂度，我们仅取其最高的时间复杂度而忽略掉常数及其它项。

如果一个程序的时间复杂度，那么我们认为这个程序的时间复杂度为.

时间复杂度的分析有多种符号表示，在本文中，我们一律看成。

Master定理

对于非递归的程序，时间复杂度是很好分析的，只需数一数循环次数就行。

对于递归型程序，我们需要用到定理进行分析。

定理：对于一个规模为的问题，通过分治将每个问题分解成个规模为的子问题，每次递归带来的额外运算为，那么可得到它的时间复杂度关系式：.

此外，我们定义一个参数，且，我们通过对的变形来说明的含义。

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以下为口胡“证明”，仅帮助理解，不可作为严谨证明：

 

设，那么：

由，得：

又，故：

所以我们可以看出：与有关。

由于上文中我们说过：时间复杂度取渐进的，所以若，我们只需比较与的大小，取较大的即可。

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1. 若，，那么；
2. 若存在非负整数，使得，那么；
3. 若，，那么。

第一第三条是比较好理解的，但第二条就需要死记硬背了。

当然，定理还有其它内容，不过我实在写不动了，有兴趣的同学可以看下这篇文章：https://www.luogu.org/blog/Chanis/master ，此篇解释的更为全面；

关于定理的证明：http://www.doc88.com/p-9761826142176.html。