[USACO2.3.2]Cow Pedigrees奶牛家谱

题目

题目描述
农民约翰准备购买一群新奶牛。 在这个新的奶牛群中, 每一个母亲奶牛都生两小奶牛。这些奶牛间的关系可以用二叉树来表示。这些二叉树总共有 $N(3\le N\le 200)$ 个节点。这些二叉树有如下性质：

• 每一个节点的度是 $0$ 或 $2$ 。度是这个节点的孩子的数目。
• 树的高度等于 $K(1<K<100)$ 。高度是从根到任何叶子的最长的路径上的节点的数目；叶子是指没有孩子的节点。

有多少不同的家谱结构？如果一个家谱的树结构不同于另一个的，那么这两个家谱就是不同的。

输出可能的家谱树的个数除以 $9901$ 的余数。

输入格式
一行两个正整数 $n,k$ ，含义见题面。

输出格式：
一行一个非负整数，表示不同的家谱结构的数目除以 $9901$ 的余数。

数据范围与约定
对于$100\%$的数据，$n\le 200,k\le 100$ 。

思路

$f(i,j)$ 表示有 $i$ 个节点，深度 不超过 $j$ ，能够形成的家谱树的数量。

那么枚举左子树的节点个数 $x$ （右字数节点数自然为 $i-x-1$ ），根据乘法原理，有

$$f(i,j)=\sum _{x=0}^{i-1}f(x,j-1)f(i-x-1,j-1)$$

这是 $\mathcal{O}(n^{2}k)$ 的，可以接受。但我们要求的不是 $f(n,k)$ ！

因为 $f(n,k)$ 包含了深度为 $1$ 到 $k$ 的所有可能。我们想知道的是深度 恰好 为 $k$ 的数量。那么多了个什么东西呢？深度为 $1$ 到 $k-1$ 的数量。不正是 $f(n,k-1)$ 吗？作差即可。

还有一些小细节，稍微提一下：

• 每一种合法的家谱都是奇数个节点。
• $f(n,k)$ 在模意义下可能小于 $f(n,k-1)$ ，输出时应当处理。

代码

#include 
const int M = 9901;
int dp[202][102];
int main(){
    int n, k;
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int j=1; j<=k; ++j){
        dp[1][j] = 1;
        for(int i=3; i<=n; i+=2)
            for(int l=1; l<i-1; l+=2)
                dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[l][j-1]*dp[i-l-1][j-1])%M;
    }
    printf("%d\n",(dp[n][k]-dp[n][k-1]+M)%M);
    return 0;
}