最小二乘、最大似然和最大后验的简单总结

在真正了解一个机器学习算法的时候，发现有许多概念还是很模糊这里整理了最小二乘法（Least Square）、最大似然估计（ Maximum Likelihood Estimation）和最大后验估计的关系。

一、最小二乘法

最小二乘法的本质就是找到一个估计值，使实际值与估计值的距离最小。而为了度量最小距离，只要使实际值与估计值之差的平方最小就好，下面就是最小二乘的表达式损失函数cost function，我们的目标就是求θ。

求解方法是通过梯度下降算法，通过训练数据不断迭代得到最终的值。

最小二乘的主要应用场景为回归分析，因为回归常用平方损失作为损失函数。

二、似然函数的引出

我们从概率的角度考虑一下最小二乘求解原理，假设目标变量y和输入x的关系如下：

其中ε为误差项，假设服从正态分布，均值为0，标准差为σ，可以写成

我们带入上面的关系方程得到y的概率方程：

这里要注意θ不是变量，不在条件中用“；”隔开。通过给定的θ和X求解Y就是我们的正常的概率思想，但是如果我们把这个方程看成是关于θ的方程时，就变成了似然方程：

似然函数与上面的概率方程的最大区别在于，关注的不再是事件发生的概率，而是已知事件发生的情况下希望知道对应的参数应该是多少，这和求概率恰恰相反。上面的式子还可以写成：

最大化L(θ)就是最大似然估计，但一般都会最大化log likelihood：

这时可以发现，此时的最大化似然函数和最初的最小二乘损失函数本质上是一样的。但是要注意这两者只是恰好有着相同的表达结果，实际并没有本质的联系。因为当likelihood用的是Gaussian的时候，由于Gaussian kernel里有个类似于Euclidean distance的东西，一求log就变成square loss了，导致解和OLSE（就是ordinary的最小二乘）是一样的。而碰巧刚接触MLE的时候基本都是gaussian假设，这才导致很多人分不清楚（这句话套用知乎上的解释）。

三、似然函数的解析

参考wiki上的定义似然函数的结果等于已知参数时的结果的概率值（这里注意L不是一个条件概率，通常用；隔开）

对于离散概率分布：

设X是参数为θ时服从离散概率分布p的随机变量，则：

看成是θ的方程，称为似然函数。

   对于连续概率分布则用密度函数衡量：

四、最大后验概率

    这里就是引入了贝叶斯学派的理论了，关于贝叶斯学派和频率学派的区别参见知乎，我们就知道，贝叶斯学派主张一切都有一个先验概率。而且上面的似然函数推倒中频率学派把参数θ看作是固定而未知的常数，而样本是随机的，有关概率的运算都是针对样本X的分布。而贝叶斯学派把这个参数看作是随机变量，而样本X看作是固定的，重视的是参数θ的分布，通常是：通过参数的先验分布结合样本信息得到参数的后验分布。例子参见。