算法基础（四）：二分算法

慕课：程序设计与算法（二）算法基础 郭玮老师课程的学习笔记

二分查找

一、基础：时间复杂度
二、二分查找原理
三、二分查找求方程的根
四、例题：找一对数
五、例题：农夫和奶牛

1、时间复杂度：也称复杂度。即程序或算法的时间效率，通常O和n来表示，例如用O(n)、O(n^2)等表示，通过计算关键步骤需要被执行的次数来衡量。

固定操作可以理解为关键性的操作，通常需要具体问题具体分析，不过大概可以理解为较为重要的步骤

而且在计算复杂度时，系数是无须考虑的，如0(n/2)->O(n)，当n很大时，不用考虑系数，因为这时候，一百亿和五十亿可以理解为差不多；而且只需要考虑变化快的n的函数，即如果是n^2+n则时间复杂度为O(n^2)，因为在这种情况下当n很大时，只需要考虑n^2的值，n<

在插入排序中，重要步骤可以理解为a[k]=a[k-1]，所以关键步骤需要执行n^2次，即时间复杂度为O(n^2)

复杂度有平均复杂度和最坏复杂度两种，一般来说两者一样，有时候两者不一样，而且在一般情况无需考虑两者差别，但是在特定情况需要考虑两者的不同

例如：快速排序，当数据完全随机时即平均复杂度为O(nlogn)，当情况糟糕时即当待排序的数据已经排好次序即最坏情况复杂度为0(n^2)，不过一般情况下用平均复杂度O(nlogn)表示即可，最坏情况出现的比较少

一般应用中考虑平均复杂度即可，平均复杂度出现的次数占大多数，但是可能在做acm题时考虑最坏复杂度，这种时候以防出题者的坏心思专门给你一个最坏的情况，这时只考虑平均时就有可能超时而中圈套

复杂度是多个n的函数之和时，只考虑增长最快的那个，即当n足够大时，小的那个函数通常远小于大的函数所以可以忽略不算

常数时间，例如压栈、出栈、压入队列等

而指数时间非常大，以致于有时计算机都无法解决

一个问题的复杂度即用最好的方法去解决时的复杂度，例如排序的复杂度通常指O(nlogn)，用最快的算法去解决

平面上有n个点，要求出任意两点之间的距离时需要将所有点对都找出来，即O(n^2)组合所有点对

在快速排序和二分查找时使用了对数复杂度O(logn)，这里的log无论用log2表示还是ln、lg等都只差一个系数，所以不用考虑，只写log即可

2、二分查找：每通过一次比较或操作将范围缩小，且注意查找的范围内必须有序才可以进行比较

通过比较数大于小于来判断下一个范围属于左还是右，依次缩小距离

（1）初始查找区间为整个数组

（2）那么在待查找区间里寻找答案，取区间的中点，然后比较大小取左或右区间，缩小待查找的区间，改变区间为左或右的区间

（3）继续只要查找区间不为空，继续第二步

注意区间内数据有序排列

为了防止计算中点时过大溢出，采用L+(R-L)/2方式计算

3、二分法求根

由导函数可知，函数递增，且左端点小于零，右端点大于零，则在区间范围内必然有一个根，所以可以在0-100的区间内顺序查找根，优化以二分求解也可，二分法在区间内查找根，每次将区间取中点二分即可

4、找一对数

时间复杂度为1亿时这种时间就很危险了，有时几百万还是可以做到的

而且虽然有时计算是线性复杂度O(n)，但是当n=1亿时，复杂度是1亿，还是很高的，所以需要优化算法

排序最好的办法是O(nlogn)，这是需要记住的，因为如果用差的排序复杂度还是很高的，下节课讲的库函数可以在O(nlogn)做到排序

排序好之后使用二分查找即可解决，注意要先排序，排序必不可少

一般来说最坏与平均差不多，实际求解时不需要考虑

在这里注意最坏为n-2次，因为查找到an-2时，只需要计算an-2+an-1==m即可，不需要二分查找n-1次

两个指针移动是O(n)，但是第一步是排序时nlogn，所以总共是nlogn

5、农夫和奶牛

解法一穷举所有可能情况，复杂度过高

使用二分法进行求解，每次用中点设置距离