约会 Rendezvous （基环树（内向） + tarjan缩点 + LCA）

题干：
　　给定一个有 n 个顶点的有向图，每个顶点有且仅有一条出边。每次询问给出两个顶点 ai 和 bi​​，求满足以下条件的 xi​​ 和 yi：
　　1、从顶点 ai 沿出边走 xi 步与从顶点 bi 沿出边走 yi 步到达的顶点相同时，max(xi,yi) 最小。
　　2、满足以上条件的情况下 min(xi,yi) 最小。
　　3、如果以上条件没有给出一个唯一的解，则还需要满足 xi≥yi​​.
　　4、如果不存在这样的 xi 和 yi，则 xi = yi = -1.

题解：
　　首先，本题十分考验卡常技巧，不卡常会T得很惨。。。

 1 const int L=1<<20|1;
 2 char buffer[L],*S,*T;
 3 #define getchar() ((S==T&&(T=(S=buffer)+fread(buffer,1,L,stdin),S==T))?EOF:*S++)
 4 inline int read(){
 5     char a=getchar();
 6     int sum=0;
 7     while(a<'0'||a>'9')   a=getchar();
 8     while(a>='0'&&a<='9') sum=(sum<<1)+(sum<<3)+a-'0',a=getchar();
 9     return sum;
10 }

来看一下题：

　　题中指出所有的路径都是单向的，而且每个点的出度都最多是1。我们将题中的的样例画一下，就可以发现这张图要么是普通的一棵树，要么是一个基环树（基环树是指其中只有一个环的一张比较特殊的图）。

　　又因为若所给数据是基环图，它也一定是一个内向图（所有非环路径最终一定汇入环中）。有了这些性质，我们可以建一个反图（方便求LCA）来跑。

　　（其实大多数图论题反图都有比较巧妙的作用）

　　若数据只是一棵树，在此就不再赘述（在下面都会涵盖）。

　　我们来考虑基环树：

　　1、它一定是由枝干（非环部分）与基环构成。

　　2、基环可以通过tarjan或dfs来求，毕竟是只有一个环，但作者在此建议大家用一用tarjan，比较方便标记环的大小与记录环上的节点。

　　　 作者在此说的是标记环，而不是将环缩成点。这是因为在环中可能也需有所贡献，在下文也会有所重申。（注意要将环上的点标号）

　　3、树上的枝干就可以用LCA来求，再加上 dfs求深度 + 节点间是否在同一基环树上 + 节点间是否在同一基环树的枝干上 ，正解的气息有没有问到。。。

　　

　　上文中说到的  求节点间是否在同一基环树上、求节点间是否在同一基环树的枝干上  其实就是与我们现在要讨论的节点位置关系有关。

　　其实两节点也只有以下几种可能关系：

　　1、两节点不在同一个树上（或图上）： 它们既然已经不在一棵树上，就一定不相连，一定是“ -1 -1 ”。

　　2、两节点在同一个树上（或图上）：

　　　　1’两节点在同一个树上的基环上：

　　　　　　用环的全长与两点的标号差相减的差 与 两点的标号差作比较（环上的点的标号用到了）。

　　　　　　　　环的全长与两点的标号差相减所得就相当于这两个点的一个距离；标号差就相当于这两个点的另一个距离

　　　　2’两节点在同一个树上的同一枝干上：  倍增LCA求解。

　　　　　　（若数据只是一棵树，所有的操作几乎都用LCA就可解决）。

　　　　3’两节点在同一个树上的不同枝干上：

　　　　　　用dfs求出的deep（该节点到最近的环上的点的距离）+ 情况一（在同一基环上）的结果

　　　　　　这种情况注意有两种结果（一种为 一个deep加上所夹的半个环 ，另一种为 一个deep加上所夹的另半个环）。

　　　　　　注意看题干进行取舍。

　　本题在解决的时候将反图中的环看作根节点，而不是缩点，大大降低了时间复杂度与思考量（好像要想到不缩点就挺有思维量的。。。）。dfs中的LCA与获得答案时的代码需认真。本题考查的十分全面。好题。。。

Code：

  1 #include
  2 #include
  3 #include
  4 #define $ 500111
  5 using namespace std;
  6 struct node{    int to,next;    }a[$];
  7 int k,n,first[$],tot,dis[$],fa[$][21];
  8 int dep[$],dad[$],tar,dfn[$],lenc[$],belong[$],nex[$],cir[$],zh[$];
  9 inline void swap(int &x,int &y){    int t=x; x=y; y=t;    }
 10 inline int abs(int x)          {    return x<0?-x:x;    }
 11 inline int max(int x,int y)    {    return x>y?x:y;    }
 12 inline int min(int x,int y)    {    return xx:y;    }
 13 const int L=1<<20|1;
 14 char buffer[L],*S,*T;
 15 #define getchar() ((S==T&&(T=(S=buffer)+fread(buffer,1,L,stdin),S==T))?EOF:*S++)
 16 inline int read(){
 17     char a=getchar();
 18     int sum=0;
 19     while(a<'0'||a>'9')   a=getchar();
 20     while(a>='0'&&a<='9') sum=(sum<<1)+(sum<<3)+a-'0',a=getchar();
 21     return sum;
 22 }
 23 inline void add(int x,int y){
 24     a[++tot]=(node){    y,first[x]    };
 25     first[x]=tot;
 26 }
 27 inline void dfs(int x){
 28     for(register int i=first[x];i;i=a[i].next){
 29         int to=a[i].to;
 30         if(cir[to]) continue;
 31         dep[to]=dep[x]+1;
 32         fa[to][0]=x;
 33         belong[to]=belong[x]; zh[to]=zh[x];
 34         for(register int j=1;j<=20;++j) fa[to][j]=fa[fa[to][j-1]][j-1];
 35         dfs(to);
 36     }
 37 }
 38 inline void tarjan(int x,int self){
 39     int to=nex[x];   dfn[x]=self;
 40     if(dfn[to]==self){
 41         int tmp=x;
 42         cir[tmp]=++tar; lenc[tar]++;
 43         while(tmp!=dad[to]){
 44             lenc[tar]++; cir[tmp]=tar;
 45             tmp=dad[tmp];
 46         }
 47     }
 48     else if(dfn[to]==0)  dad[to]=x, tarjan(to,self);
 49 }
 50 inline int LCA(int x,int y){
 51     if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
 52     for(register int i=20;i>=0;--i)
 53         if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])  x=fa[x][i];
 54     if(x==y) return x;
 55     for(register int i=20;i>=0;--i)
 56         if(fa[x][i]!=fa[y][i])  x=fa[x][i], y=fa[y][i];
 57     return fa[x][0];
 58 }
 59 inline void renew(int x,int y,int xx,int yy,int &ans1,int &ans2){
 60     
 61     int out1=max(x,y),out2=max(xx,yy);
 62     if(out1!=out2){
 63         if(out1y;
 64         if(out1>out2) ans1=xx, ans2=yy;
 65         return ;
 66     }
 67     out1=min(x,y), out2=min(xx,yy);
 68     if(out1!=out2){
 69         if(out1y;
 70         if(out1>out2) ans1=xx, ans2=yy;
 71         return ;
 72     }
 73     if(x>=y)  ans1=x, ans2=y;
 74     if(xyy;
 75 }
 76 inline void solve(int x,int y){
 77     int ans1=0,ans2=0;
 78     if(belong[x]!=belong[y]){    puts("-1 -1"); return ;    }
 79     if(zh[x]!=zh[y]){
 80         ans1=dep[x], ans2=dep[y];
 81         int p=zh[x],q=zh[y],i,j,ii,jj;
 82         i=ii=ans1; j=jj=ans2;
 83         int l=lenc[cir[zh[x]]],r=abs(dis[p]-dis[q]);
 84         if(dis[p]>dis[q]) jj+=r,     i+=l-r-1;
 85         else              jj+=l-r-1, i+=r;
 86         renew(i,j,ii,jj,ans1,ans2);
 87         printf("%d %d\n",ans1,ans2);  return;
 88     }
 89     int lca=LCA(x,y);
 90     ans1=dep[x]-dep[lca], ans2=dep[y]-dep[lca];
 91     printf("%d %d\n",ans1,ans2);
 92 }
 93 signed main(){
 94     n=read(), k=read();
 95     for(register int i=1,x;i<=n;++i) 
 96         x=read(), nex[i]=x, add(x,i);
 97     for(register int i=1;i<=n;++i)  if(!dfn[i])  tarjan(i,i);
 98     for(register int i=1;i<=n;++i){
 99         if(cir[i]&&!dis[i]){    
100             int to=nex[i],now=1;
101             while(to!=i) dis[to]=now++,to=nex[to];
102         }
103     }
104     for(register int i=1;i<=n;++i)
105         if(cir[i])  zh[i]=i, belong[i]=cir[i], dfs(i);
106     for(register int i=1,x,y;i<=k;++i)
107         x=read(), y=read(), solve(x,y); 
108 }

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