最长公共子序列理解心得之C/C++

今天在在做腾讯2017年暑期实习生编程题的时候遇到的求最长回文串个数，其中遇到了一个知识点，求最长公共子序列。

下面看一下百科给出的解释：

再看看算法与应用：

求公共子序列举例：

char arr1[] = "abcdefggigk";
char arr2[] = "acdefhglkm";
//arr1和arr2的最长公共子序列为"acdefgk"

使用动态规划算法：

思路详解：

复杂问题求解的简便方法是先化解为若干个简单的子问题，而有些复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

动态规划求解最长公共子序列算法原理：

动态规划方法解LCS问题的原理如下： 
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

现在设定A="abcdefggigk";  B="acdefhglkm";

现在求最长公共子序列，公式：

回溯输出最长公共子序列过程：

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为O(m * n)。

代码演示：

#include 
using namespace std;
#include 
const int MAX = 100;

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAX], int b[][MAX])
{
	int i, j;

	for (i = 0; i <= m; i++)
		c[i][0] = 0;
	for (j = 1; j <= n; j++)
		c[0][j] = 0;
	for (i = 1; i <= m; i++)
	{
		for (j = 1; j <= n; j++)
		{
			if (x[i - 1] == y[j - 1])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
				b[i][j] = 0;
			}
			else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j];
				b[i][j] = 1;
			}
			else
			{
				c[i][j] = c[i][j - 1];
				b[i][j] = -1;
			}
		}
	}
}

void PrintLCS(int b[][MAX], char *x, int i, int j)
{
	if (i == 0 || j == 0)
		return;
	if (b[i][j] == 0)
	{
		PrintLCS(b, x, i - 1, j - 1);
		cout << x[i - 1] << " ";
	}
	else if (b[i][j] == 1)
		PrintLCS(b, x, i - 1, j);
	else
		PrintLCS(b, x, i, j - 1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
	char x[MAX] = { "abcdefggigk" };
	char y[MAX] = { "acdefhglkm" };
	int b[MAX][MAX];
	int c[MAX][MAX];
	int m, n;

	m = strlen(x);
	n = strlen(y);

	LCSLength(x, y, m, n, c, b);
	PrintLCS(b, x, m, n);

	cout << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

谢谢！