maple 程序，编译，运行

1  n_dim := 1; n_delay := 1; n_order := 3; Eq_pos := `<,>`(0, 0); var_par := [delta]; dde_type := "neutral"; sys_rhs := `<,>`(xt[2, 1], beta[1]*xt[2, 1]*beta[2]*(xt[1, 1]-xt[1, 1]^3)+delta*(xt[4, 1], xt[4, 2])); sys_D_lhs := `<,>`(xt[1, 1], (1-beta[3*c])*xt[2, 1]+beta[3*c]*xt[2, 2])
2 VarSeq := proc (ndim::integer, ndelay::integer, varpar::{set, list, Vector[column]}, ddetype::{name, string, symbol} := "retarded") local dtype, vpar, i, j, varseq; dtype := convert(ddetype, string); vpar := convert(varpar, list); if dtype = "restarded" then varseq := seq(seq(xt[i, j], j = 1 .. ndelay+1), i = 1 .. ndim), op(vpar) elif dtype = "neutral" then varseq := seq(seq(xt[i, j], j = 1 .. ndelay+1), i = 1 .. 2*ndim), op(vpar) else error "%1,type of DDE not recognized", ddetype end if; varseq end proc
3  DegreeSeparate := proc (Eqs::{Matrix, Vector[column]}, varlist::{set, list}, Norder::integer) local Eqs_temp, ndim, Eq_ex, i, nterm, j, term; Eqs_temp := convert(Eqs, Vector[column]); ndim := LinearAlgebra:-Dimension(Eqs); Eq_ex := Vector[column](ndim); for i to ndim do nterm := nops(expand(Eqs_temp[i]+1))-1; for j to nterm do term := op(j, expand(Eqs_temp[i]+1)); if degree(term, varlist) = Norder then Eq_ex[i] := Eq_ex[i]+term end if end do end do; Eq_ex end proc
4 FGSeparate := proc (Eqs::(Vector[column]), varlist::{set, list}) local ndim, i, nvar, j, Eq_F, Eq_G, term; ndim := LinearAlgebra:-Dimension(Eqs); Eq_G := Vector[column](ndim); for i to ndim do for j to nops(expand(Eqs[i])+1)-1 do term := op(j, expand(Eqs[i])+1); if 1 <= degree(term, varlist) then Eq_G[i] = Eq_G[i]+term end if end do end do; Eq_F := Eqs-Eq_G; Eq_F, Eq_G end proc
5 FLSeparate := proc (Eqs::(Vector[column]), svarlist::{set, list}, varpar::{set, list, Vector[column]}) local ndim, Eq_ex, i, j, term; ndim := LinearAlgebra:-Dimension(Eqs); Eq_ex := Vector[column](ndim); for i to ndim do for j to nops(expand(Eqs[i])+1)-1 do term := op(j, expand(Eqs[i])+1); if 1 <= degree(term, varpar) then if degree(term, svarlist) = 1 then Eq_ex[i] := Eq_ex[i]+term end if end if end do end do; Eq_ex, Eqs-Eq_ex end proc
6 CoeffMulvar := proc (expression::algebraic, varlist::list, exponentslist::list) local nvar, eq, i; nvar := nops(varlist); eq := expression; for i to nvar do eq := coeff(eq, varlist[i], exponentslist[i]) end do; eq end proc
7 DiffMulvar := proc (Eqs::{Matrix, Vector[column]}, varlist::list, ww, norder::integter, neqs::integer, ni::integer) local Eq_max, nvar, rdim, cdim, j, summands, kk, k, DEQs, S, m, jj, idx, ik, mm, nn, T, ii, cc; Eq_max := convert(Eqs, Matrix); nvar := nops(varlist); rdim := LinearAlgebra:-RowDimension(Eq_max); cdim := LinearAlgebra:-ColumnDimension(Eq_max); DEQs := Matrix(rdim, cdim); for j from 0 to (norder+1)^nvar-1 do summands := NULL; kk := j; for m to nvar do summands := summands, modp(kk, norder+1); kk := floor(kk/(norder+1)) end do; S[summands] := convert([summands], "+"); if S[summands] = norder then T := combinat:-carprod([`$`([0, seq(i, i = 2 .. ni)], nvar)]); while not T[finished] do idx := T[nextvalue](); if convert(idx, "+") <= ni+norder-neqs and sum(idx[nn]*summands[nn], nn = 1 .. nvar) = ni+norder-neqs then for ii to rdim do for cc to cdim do DEQs[ii, cc] := DEQs[ii, cc]+(diff(Eq_max[ii, cc], [seq(`$`(varlist[i], summands[i]), i = 1 .. nvar)]))*mul(ww[i][idx[i]]^summands[i], i = 1 .. nvar)*mul(1/factorial(summands[i]), i = 1 .. nvar) end do end do end if end do end if end do; DEQs end proc
8  SigSum := proc (eq, ndim::integer) local r_eq; if eq = 0 then r_eq := Vector[column](ndim) else r_eq := eq end if; r_eq end proc
9  sys_rhs := map(mtaylor, sys_rhs, [seq(seq(op([xt[i, j] = Eq_pos[i], xt[n_dim+i, j] = Eq_pos[i]]), i = 1 .. n_dim), j = 1 .. (n_delay+1))], n_order+1);    n_ode := 2;     var := VarSeq(n_dim, n_delay, var_par, dde_type);    svar:=seq(seq(xt[i,j],j=1..n_delay+1),i=1...n_dim);    dvar:=seq(seq(xt[i,j],j=1..n_delay+1),i=(n_dim+1)...2* n_dim);    n_var:=nops([var]);    n_svar:=nops([svar]);    n_dvar:=nops([dvar]);    for i from 1 to n_delay+1 do          XT[i]:=;     end do;     for i from 1 to n_delay+1 do          NXT[i]:=;      end do; V:=;  W:=LinearAlgebra[Transpose]();  Y:=;ylist:=[seq(y[i],i=1..n_ode)];  H:=;  for  j from 2 to n_order do   cat(h,j):=;   H:=H+eval(cat(h,j));  end do;  ode_var:=seq(y[i],i=1..n_ode),op(var_par);   s_ode_var:=seq(y[i],i=1..n_ode);   n_ode_var:=nops([ode_var]);   for  ii  from  1 to n_dim do       for jj  from  2 to n_order do      cat(h,jj,ii):=0;        end do;     end do;     S:=table():aa:=0;   for  j from  0  to  (n_order+1)^n_ode_var-1   do      summands:=NULL;       kk:=j;         for m from 1 to n_ode_var do          summands:=modp(kk,n_order+1);          kk:=floor(kk/(n_order+1));   end  do;   S[summands]:=convert([summands],Matrix);   for k from 2 to n_order do       if S[summands]=k then            for jj from  1 to  n_dim do                  aa:=h||k||jj;                 aa:=aa+(h[jj][summands])(theta)*mul(ode_var[i]^(summands)[i],i=1..n_ode_var);                 h||k||jj:=aa;           end  do;          end if;  end do;  end do;  E_subs:=[];  for i from 1 to n_dim do  E_subs:=[op(E_subs),seq(xt[i,j]=Eq_pos[i],j=1..n_delay)]；  end do;  for  i from 0 to n_delay do       A[i]:= convert(subs(E_subs,linalg[jacobian](L||0,XT[i+1])),Matrix);       B[i]:= convert(subs(E_subs,linalg[jacobian](sys_D_lhs,XT[i+1])),Matrix);  end  do;           ident:=Matrix(n_dim,shape=identity);           Delta:=lambda*sum('B[i]*exp(-lambda*tau[i])','i'=0..n_delay)-sum('A[i]*exp(-lambda*tau[i])','i'=0..n_delay);           char_eq:=combine(collect(LinearAlgebra[Determinant](Delta),lambda));           D_Delta:=subs(lambda=I*omega,map(diff,Delta,lambda));           eq_im:=evalc(subs(lambda=I*omega,char_eq));           eq_Re:=coeff(expand(eq_im),I,0);           eq_Im:=coeff(expand(eq_im),I,1);   SC_subs:=   solve([eq_Re,eq_Im],{op(selectfun(eq_Re,cos)),op(selectfun(eq_Re,sin)),op(selectfun(eq_Im,sin)),op(selectfun(eq_Im,cos))});   Dv:=subs(lambda=I*omega,linearAlgebra[Multiply](Delta,V));   V :=subs(op(solve([seq(Dv[i],i=1..n_dim-1)],[seq(v[i],i=2..n_dim)])),v[1]=1,V);   assume_variables:=        seq(indets(eq_im,name)[i]::real,i=1..nops(indets(eq_im,name))),theta::real,xi::real;   phi[1]:=V*exp(I*omega*theta);   phi[2]:=evalc(map(conjugate,V)*exp(-I*omega*theta))assuming assume_variables;   phi:=Matrix(phi[1],phi[2]);   wD:=subs(lanbda=I*omega,LinearAlgebra[Multiply](W,Delta));   W:=subs(op(solve([seq(wD[i],i=1..n_dim-1)],[seq(w[i],i=2..n_dim)])),W);   w1:=solve(linearAlgebra[Matrix](linearAlgebra[Multiply](W,D_Delta),V)=1,w[1]);   psi[2]:=map(conjugate,W)*exp(I*omega*xi)assuming assume_variables;   P_si:=Matrix([[psi[1]]],[[psi[2]]]);   P_si_0:=subs(xi=0,P_si);   B:=Matrix([[I*omega,0],[0,-I*omega]]);   Phiy:=LinearAlgebra[Multiply](phi,Y);   for  i from 0 to n_delay do       Phiyt[i]:=subs(theta=-tau[i],Phiy);   Phiyth[i]:=eval(subs(theta=-tau[i],Phiy+H));   end do;  subs_group:={}:subs_group_t:={};  for  i from 0 to n_delay do      for  j  from 1  to n_dim do        subs_group:={op(subs_group),XT[i+1][j]=Phiyt[i][j]};    subs_group_h:={op(subs_group_t),XT[i+1][j]=Phiyth[i][j]};  end do;  end do;  subs_group_W:={};linalg[jacobian]((L||0, XT[i+1]),"Matrix");  for  i from 2 to  n_order do        G_element||i:=[];   L_element||i:=[];   coe_element||i=[];   Resonant||i:=[];   #IIndex||i:={};   j:'j';g1[i]:=;   V_Fn[i]:=;   V1||i:=;   indet_h||i:={};   eq_h||i:={};   eq_dh||i:={};   indet_c||i:={};  end do;  for i from 2 to n_order do     if dde_type="neutral" then     t1:=subs(subs_group,L||(i-1))+SigSum(add(subs(subs_group_L[k],L||(i-k)),k=2..(i-1)),n_dim);     t2:=subs(subs_group,F||i)+SigSum(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww,l,k,i),Vector[column])),k=2..(i-1)),n_dim)+SigSum(add(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww,j,k,i),Vector[column])),k=j..i-j),j=2..floor(i/2)),n_dim);     t3:=SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](subs([op(subs_group_W),op(subs_group)],VectorCalculus[Jacobian](Gx||i,convert(NXT[jj],list))),LinearAlgebra[Multiply](subs(theta=-tau[jj-1],Phi),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))),jj=1..n_delay+1),n_dim)+SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(VectorCalculus[Jacobian](Gx||(k+1),convert(NXT[jj],list)),[svar],ww,j,k,i-1)),k=j..(i-1-j)),j=1..floor((i-1)/2)),LinearAlgebra[Multiply](subs(theta=-tau[jj-1],Phi),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))),jj=1..n_delay+1),n_dim)+     SigSum(add(add(LinearAlgebra[Multiply]((VectorCalculus[Jacobian](Gx||(I+1),convert(NXT[jj],list))+add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(VectorCalculus[Jacobian](Gx||(k+1),convert(NXT[jj],list)),[svar],ww,j,k,I)),k=j..I-j),j=1..floor(I/2))),subs(theta=-tau[jj-1],(LinearAlgebra[Multiply](Phi,g1[i-1])+LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](Phi,VectorCalculus[Jacobian](V1||(i-1),ylist))+VectorCalculus     [Jacobian](V2||(i-1),ylist),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))+SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](Phi,VectorCalculus[Jacobian](V1||(k),ylist))+VectorCalculus[Jacobian](V2||(k),ylist,),g1[i-I-k+1]),k=2..i-I-1),n_dim)))),jj=1..n_delay+1),I=1..(i-2)),n_dim);     K[i] :=t1+t2+t3;     elif dde_type="retarded" then      t1:=subs(subs_group,L||(i-1))+SigSum(add(subs(subs_group_L[k],L||(i-k)),k=2..(i-1)),n_dim);     t2:= subs(subs_group,F||i)+SigSum(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww.l,k,i),Vector[column])),k=2..(i-1)),n_dim)+SigSum(add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(F||k,[svar],j,k,i)),k=j..i-j),j=2..floor(i/2)),n_dim);    K[i]:=t1+t2;         end if;  f1[i]:=LinearAlgebra[Multiply](P_si_0,K[i])-SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[jacobian](V1||k,ylist),g1[i+1-k]),k=2..(i-1)),n_ode);  V2||i:=h||i;  ode:=-LinearAlgebra[Multiply](Phi,LinearAlgebra[Multiply](P_si_0,K[i]))-SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[Jacobian](V2||k,ylist),g1[i+1-k]),k=2..i-1),n_dim)-(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[Jacobian](V2||i,ylist),LinearAlgebra[Multiply](B,Y)))+map(diff,V2||i,theta);  id:=0;   for  i_1 from 0 (1+i)^n_ode_var-1 do           sumindex:=NULL;              k:=i_1;   for  j from 1 to  n_ode_var do    sumindex:=sumindex,modp(k,i+1)+1;    k:=floor(k/(i+1));    end do;  SS[sumindex]:=convert([sumindex],"+")-(n_ode_var);              if SS[sumindex]=i then                  id:=id+1;                  for m from 1 to n_ode do                       ii:="ii":element[m]:=;                       ii:="ii":element[m][m]:=product(ode_var[ii]^(sumindex[ii]-1),ii=1..n_ode_var);                       sus[m]:=convert(linalg[jacobian](element[m],Y),"Matrix");                       M_element[m]:=LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](sus[m],B),Y)-LinearAlgebra[Multiply](B,element[m]);                       c_element[m]:=M_element[m][m]/element[m][m];                if  evalb(c_element[m]=0) then         Resonant||i:=[element[m],op(Resonant||i)];     tem:=CoeffMulvar(f1[i][m],[ode_var],map("-",[sumindex],1));     g1[i][m]:=g1[i][m]+tem*tem*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var);     else          UResonat||i:=[element[m],op(UResonat||i)];  tem:=CoeffMulvar(f1[i][m],[ode_var],map("-",[sumindex],1));  V_Fn[i][M]:=V1_Fn[i][m]+tem*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var);  (V1||i)[M]:=(V1||i)[M]+tem/c_element[M]*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var);  end if;  G_element||i:=[element[m],op(G_element||i)];  L_element||i:=[M_element[m],op(L_element||i)];  coe_element||i:=[c_element[m],op(coe_element||i)];  end do;  for  mm from 1 to  n_dim do     indet_h||i:={CoeffMulvar(ode[mm],[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(indet_h||i)};     eq_h||i:={CoeffMulvar(V2||i[mm],[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(eq_dh||i)};     eq_dh||i:={CoeffMulvar(map(diff,V2||i[mm],theta),[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(eq_dh||i)};   end do;  end if ;  end do;  if i <>n_order then     C_constant:={seq(cat(_C,i_constant),i_constant=1..id*n_dim)};     V2||i=subs(convert(dsolve(indet_h||i,eq_h||i),int),map(eval,V2||i));     L_0:=       subs([seq(seq(xt[ii,jj]=subs(theta=-tau[jj-1],V2||i[ii]),jj=1..n_delay+1),ii=1..n_dim)],L||0);      DV :=subs([seq(seq(xt[ii,jj]=subs(theta=-tau[jj-1],subs(dsolve(indet_h||i,eq_h||i),subs(solve(indet_h||i,eq_dh||i),map(diff,V2||i,theta)))[ii]),jj=1..n_delay+1),ii=1..n_dim)],XT[1]);   I_ode[i]:=K[i]+L_0-DV;   for  i_2 from o to (1+i)^n_ode_var-1  do      sumindex_2:=NULL;  k_2:=i_2;       for  j_2 from 1 to n_ode_var do       sumindex_2:=sumindex_2,modp(k_2,i+1)+1;    k_2:=floor(k_2/(i+1));    end do;     SS2[sumindex_2]:=convert([sumindex_2],"+")-(n_ode_var);     if SS2[sumindex_2]=i then        for  mm_2 from 1 to n_dim do         indet_c||i:={CoeffMulvar(I_ode[i][mm_2],[ode_var],map("-",[sumindex_2],1)),op(indet_c||i)};    end  do;  end if;       end do;   V2||i:=subs(solve(indet_c||i,C_constant),map(eval,V2||i));   W||i:=LinearAlgebra[Multiply](Phi,V1||i+V2||i);   for  i_w from  1 to  n_delay+1 do       (WW||i)[i_w]:=subs(theta=-tau[i_w-1],W||i);   end  do;   subs_group_L[i]:={};   ix:=1;   for  i_s from  1 to n_dim do      for  j_s from  1  to  n_delay+1  do  subs_group_L[i]:={op(subs_group_L[i]),XT[j_s][i_s]=(WW||i)[j_s][i_s]};  subs_group_W:={op(subs_group_W),ww[ix][i]=(WW||i)[j_s][i_s]};  ix:=ix+1;    end  do;   end  do;  end  if;  print(G_element||i);  printf("THe images of the basis of %d order under Lie bracket",i);  print(L_element||i);  printf("Resonant terms  of  %d order",i);  print(Resonant||i);  printf("Unresonant terms of  %d order",i);  print(UResonat||i);  end do;  V_1:=add(V1||i,i=2..n_order);  V_2:= add(V2||i,i=2..n_order-1);  SYS1:=subs(V[1]=1,(LinearAlgebra[Multiply](B,Y)+sum(g1[z],z=2..3)));  printf("*********************************\\n");  printf("The critical values needed for the  occurance of a Hopf bifurcation\\n");  printf("*********************************\\n");  print(SC_subs);  printf("*********************************\\n");  printf("Bases of center space \\n");  printf("*********************************\\n");  print("Phi"=Phi);  print("psi"=P_si);  printf("*********************************\\n");  printf("nonlinear transformation V1\\n");  printf("*********************************\\n");  print(V_1);  printf("*********************************\\n");      printf("nonlinear transformation V1\\n");     printf("*********************************\\n");  print(V_2);  printf("*********************************\\n");  printf("  The normal form of the required order \\n");  printf("*********************************\\n");  print(map(factor,map(simplify,SYS1[1],exp)));      print(map(factor,map(simplify,SYS1[2],exp)));printf("where\\n");       print([W[1]=W1]);
      

  sys_rhs := map(mtaylor, sys_rhs, [seq(seq(op([xt[i, j] = Eq_pos[i], xt[n_dim+i, j] = Eq_pos[i]]), i = 1 .. n_dim), j = 1 .. (n_delay+1))], n_order+1);   
               n_ode := 2;     
                var := VarSeq(n_dim, n_delay, var_par, dde_type);                                                                                                         svar:=seq(seq(xt[i,j],j=1..n_delay+1),i=1...n_dim);   
               dvar:=seq(seq(xt[i,j],j=1..n_delay+1),i=(n_dim+1)...2* n_dim);   
                n_var:=nops([var]);   
               n_svar:=nops([svar]);   
               n_dvar:=nops([dvar]);  
              for i from 1 to n_delay+1 do      
                     XT[i]:=;   
               end do;    
              for i from 1 to n_delay+1 do         
                   NXT[i]:=;  
              end do; V:=;  
              W:=LinearAlgebra[Transpose](); 
               Y:=;
              ylist:=[seq(y[i],i=1..n_ode)];
              H:=;  
                for  j from 2 to n_order do  
                     cat(h,j):=;   
                    H:=H+eval(cat(h,j)); 
                 end do;  
                ode_var:=seq(y[i],i=1..n_ode),op(var_par); 
                s_ode_var:=seq(y[i],i=1..n_ode);  
                n_ode_var:=nops([ode_var]);  
                 for  ii  from  1 to n_dim do      
                       for jj  from  2 to n_order do     
                           cat(h,jj,ii):=0;       
                            end do;  
                 end do;    
                S:=table():aa:=0;   
                for  j from  0  to  (n_order+1)^n_ode_var-1   do     
                       summands:=NULL;      
                        kk:=j;         
                 for m from 1 to n_ode_var do         
                        summands:=modp(kk,n_order+1);         
                        kk:=floor(kk/(n_order+1));   
                 end  do;   
                 S[summands]:=convert([summands],Matrix);  
                 for k from 2 to n_order do      
                  if S[summands]=k then           
                         for jj from  1 to  n_dim do                 
                               aa:=h||k||jj;                 
                               aa:=aa+(h[jj][summands])(theta)*mul(ode_var[i]^(summands)[i],i=1..n_ode_var);                                                          h||k||jj:=aa; 
                              end  do;        
                  end if;  
                 end do; 
               end do; 
             E_subs:=[]; 
              for i from 1 to n_dim do  
                   E_subs:=[op(E_subs),seq(xt[i,j]=Eq_pos[i],j=1..n_delay)]£» 
               end do; 
               for  i from 0 to n_delay do       
                    A[i]:= convert(subs(E_subs,linalg[jacobian](L||0,XT[i+1])),Matrix);       
                   B[i]:= convert(subs(E_subs,linalg[jacobian](sys_D_lhs,XT[i+1])),Matrix);  
               end  do;          
               ident:=Matrix(n_dim,shape=identity);          
                Delta:=lambda*sum('B[i]*exp(-lambda*tau[i])','i'=0..n_delay)-sum('A[i]*exp(-lambda*tau[i])','i'=0..n_delay);                    char_eq:=combine(collect(LinearAlgebra[Determinant](Delta),lambda));                                                                        D_Delta:=subs(lambda=I*omega,map(diff,Delta,lambda));                                                                                              eq_im:=evalc(subs(lambda=I*omega,char_eq));
                   eq_Re:=coeff(expand(eq_im),I,0);  
                  eq_Im:=coeff(expand(eq_im),I,1); 
                 SC_subs:=                                                                                                                                                                                                                                                                                               solve([eq_Re,eq_Im{op(selectfun(eq_Re,cos)),op(selectfun(eq_Re,sin)),op(selectfun(eq_Im,sin)),op(selectfun(eq_Im,cos))});  |
 Dv:=subs(lambda=I*omega,linearAlgebra[Multiply](Delta,V));   
                  V :=subs(op(solve([seq(Dv[i],i=1..n_dim-1)],[seq(v[i],i=2..n_dim)])),v[1]=1,V);   
                  assume_variables:=                                                                       seq(indets(eq_im,name[i]::real,i=1..nops(indets(eq_im,name))),theta::real,xi::real; 
                   phi[1]:=V*exp(I*omega*theta);   phi[2]:=evalc(map(conjugate,V)*exp(-I*omega*theta))assuming assume_variables; 
                    phi:=Matrix(phi[1],phi[2]);   
                    wD:=subs(lanbda=I*omega,LinearAlgebra[Multiply](W,Delta));                                 W:=subs(op(solve([seq(wD[i],i=1..n_dim-1)],[seq(w[i],i=2..n_dim)])),W);  
                    w1:=solve(linearAlgebra[Matrix](linearAlgebra[Multiply](W,D_Delta),V)=1,w[1]);                    psi[2]:=map(conjugate,W)*exp(I*omega*xi)assuming assume_variables;  
                   P_si:=Matrix([[psi[1]]],[[psi[2]]]); 
                    P_si_0:=subs(xi=0,P_si);  
                    B:=Matrix([[I*omega,0],[0,-I*omega]]);  
                     Phiy:=LinearAlgebra[Multiply](phi,Y);   
                      for  i from 0 to n_delay do       
                                 Phiyt[i]:=subs(theta=-tau[i],Phiy);  
                                 Phiyth[i]:=eval(subs(theta=-tau[i],Phiy+H));  
                     end do;
                       subs_group:={}:  subs_group_t:={};  
                     for  i from 0 to n_delay do 
                              for  j  from 1  to n_dim do        
　　　　　　　　　　　　　subs_group:={op(subs_group),XT[i+1][j]=Phiyt[i][j]};
　　　　　　　　　　　　    subs_group_h:={op(subs_group_t),XT[i+1][j]=Phiyth[i][j]};
　　　　　　　　  end do; 
　　　　　　 end do;  
　　　　　　subs_group_W:={};
　　　　　　linalg[jacobian]((L||0, XT[i+1]),"Matrix");
　　　　　　  for  i from 2 to  n_order do       
　　　　　　　　　 G_element||i:=[]; 
　　　　　　　　　  L_element||i:=[];  
　　　　　　　　　　 coe_element||i=[];  
　　　　　　　　　 Resonant||i:=[]; 
　　　　　　　　　  #IIndex||i:={};   
                                  j:'j';g1[i]:=;  
                                  V_Fn[i]:=;  
                                  V1||i:=;   
                                  indet_h||i:={};   eq_h||i:={};   eq_dh||i:={};   indet_c||i:={}; 
                        end do;  
                       for i from 2 to n_order do   
                                if dde_type="neutral" then    
                                          t1:=subs(subs_group,L||(i-1))+SigSum(add(subs(subs_group_L[k],L||(i-k)),k=2..(i-1)),n_dim);     
                                                    t2:=subs(subs_group,F||i)+SigSum(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww,l,k,i),Vector[column])),k=2..(i-1)),n_dim)+SigSum(add(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww,j,k,i),Vector[column])),k=j..i-j),j=2..floor(i/2)),n_dim);   

                                           t3:=SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply(subs([op(subs_group_W),op(subs_group)],VectorCalculus[Jacobian](Gx||i,convert(NXT[jj],list))),LinearAlgebra[Multiply](subs(theta=-tau[jj1],Phi),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))),jj=1..n_delay+1),n_dim)+SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(VectorCalculus[Jacobian](Gx||(k+1),convert(NXT[jj],list)),[svar],ww,j,k,i-1)),k=j..(i-1-j)),j=1..floor((i-1)/2)),LinearAlgebra[Multiply](subs(theta=-tau[jj-1],Phi),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))),jj=1..n_delay+1),n_dim)+     SigSum(add(add(LinearAlgebra[Multiply]((VectorCalculus[Jacobian](Gx||(I+1),convert(NXT[jj],list))+add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(VectorCalculus[Jacobian](Gx||(k+1),convert(NXT[jj],list)),[svar],ww,j,k,I)),k=j..I-j),j=1..floor(I/2))),subs(theta=-tau[jj-1],(LinearAlgebra[Multiply](Phi,g1[i-1])+LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](Phi,VectorCalculus[Jacobian](V1||(i-1),ylist))+VectorCalculus     [Jacobian](V2||(i-1),ylist),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))+SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](Phi,VectorCalculus[Jacobian](V1||(k),ylist))+VectorCalculus[Jacobian](V2||(k),ylist,),g1[i-I-k+1]),k=2..i-I-1),n_dim)))),jj=1..n_delay+1),I=1..(i-2)),n_dim);                 K[i] :=t1+t2+t3;   
           elif dde_type="retarded" then    
                t1:=subs(subs_group,L||(i-1))+SigSum(add(subs(subs_group_L[k],L||(i-k)),k=2..(i-1)),n_dim);   
                  t2:= subs(subs_group,F||i)+SigSum(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww.l,k,i),Vector[column])),k=2..(i-1)),n_dim)+SigSum(add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(F||k,[svar],j,k,i)),k=j..i-j),j=2..floor(i/2)),n_dim);   
                K[i]:=t1+t2;        
            end if; 
            f1[i]:=LinearAlgebra[Multiply](P_si_0,K[i])-SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[jacobian](V1||k,ylist),g1[i+1-k]),k=2..(i-1)),n_ode); 
            V2||i:=h||i;  
           ode:=-LinearAlgebra[Multiply](Phi,LinearAlgebra[Multiply](P_si_0,K[i]))-SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[Jacobian](V2||k,ylist),g1[i+1-k]),k=2..i-1),n_dim)-(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[Jacobian](V2||i,ylist),LinearAlgebra[Multiply](B,Y)))+map(diff,V2||i,theta);  id:=0;   for  i_1 from 0 (1+i)^n_ode_var-1 do           sumindex:=NULL;           
             k:=i_1; 
                 for  j from 1 to  n_ode_var do    
                     sumindex:=sumindex,modp(k,i+1)+1;    
                      k:=floor(k/(i+1));  
                  end do;
               SS[sumindex]:=convert([sumindex],"+")-(n_ode_var);           
                if SS[sumindex]=i then                
                         id:=id+1;               
                       for m from 1 to n_ode do                       
                                ii:="ii":element[m]:=;                       
                                ii:="ii":element[m][m]:=product(ode_var[ii]^(sumindex[ii]-1),ii=1..n_ode_var);                        sus[m]:=convert(linalg[jacobian](element[m],Y),"Matrix");                       M_element[m]:=LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](sus[m],B),Y)-LinearAlgebra[Multiply](B,element[m]);                       
                                c_element[m]:=M_element[m][m]/element[m][m];               
                                if  evalb(c_element[m]=0) then        
                                         Resonant||i:=[element[m],op(Resonant||i)];  
                                         tem:=CoeffMulvar(f1[i][m],[ode_var],map("-",[sumindex],1));     
                                          g1[i][m]:=g1[i][m]+tem*tem*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var);    
                                 else       
                                         UResonat||i:=[element[m],op(UResonat||i)]; 
                                        tem:=CoeffMulvar(f1[i][m],[ode_var],map("-",[sumindex],1)); 
                                        V_Fn[i][M]:=V1_Fn[i][m]+tem*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var); 
                                         (V1||i)[M]:=(V1||i)[M]+tem/c_element[M]*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var);
                                  end if;  
                                   G_element||i:=[element[m],op(G_element||i)];
                                    L_element||i:=[M_element[m],op(L_element||i)]; 
                                      coe_element||i:=[c_element[m],op(coe_element||i)];  
                                   end do;  
                                   for  mm from 1 to  n_dim do     
                                         indet_h||i:={CoeffMulvar(ode[mm],[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(indet_h||i)};     eq_h||i:={CoeffMulvar(V2||i[mm],[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(eq_dh||i)};   
                                        eq_dh||i:={CoeffMulvar(map(diff,V2||i[mm],theta),[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(eq_dh||i)}; 
                                    end do;  
                                 end if ;  
                              end do;  
                             if i <>n_order then   
                                      C_constant:={seq(cat(_C,i_constant),i_constant=1..id*n_dim)};     V2||i=subs(convert(dsolve(indet_h||i,eq_h||i),int),map(eval,V2||i)); 
                                          L_0:=       subs([seq(seq(xt[ii,jj]=subs(theta=-tau[jj-1],V2||i[ii]),jj=1..n_delay+1),ii=1..n_dim)],L||0);      
                                          DV :=subs([seq(seq(xt[ii,jj]=subs(theta=-tau[jj-1],subs(dsolve(indet_h||i,eq_h||i),subs(solve(indet_h||i,eq_dh||i),map(diff,V2||i,theta)))[ii]),jj=1..n_delay+1),ii=1..n_dim)],XT[1]); 
                                           I_ode[i]:=K[i]+L_0-DV;   
                            for  i_2 from o to (1+i)^n_ode_var-1  do    
                             sumindex_2:=NULL;  
                              k_2:=i_2;      
                             for  j_2 from 1 to n_ode_var do                                     sumindex_2:=sumindex_2,modp(k_2,i+1)+1;    
                                k_2:=floor(k_2/(i+1));  
                               end do;     
                             SS2[sumindex_2]:=convert([sumindex_2],"+")-(n_ode_var);    
                              if SS2[sumindex_2]=i then        
                             for  mm_2 from 1 to n_dim do         
                                       indet_c||i:={CoeffMulvar(I_ode[i][mm_2],[ode_var],map("-",[sumindex_2],1)),op(indet_c||i)};    end  do;  
end if;     
                     end do;  
                               V2||i:=subs(solve(indet_c||i,C_constant),map(eval,V2||i)); 
                             W||i:=LinearAlgebra[Multiply](Phi,V1||i+V2||i); 
                            for  i_w from  1 to  n_delay+1 do      
                                 (WW||i)[i_w]:=subs(theta=-tau[i_w-1],W||i);  
                             end  do;  
                          subs_group_L[i]:={};   
                            ix:=1;   
                            for  i_s from  1 to n_dim do      
                                      for  j_s from  1  to  n_delay+1  do  
                                                subs_group_L[i]:={op(subs_group_L[i]),XT[j_s][i_s]=(WW||i)[j_s][i_s]};   subs_group_W:={op(subs_group_W),ww[ix][i]=(WW||i)[j_s][i_s]};  ix:=ix+1;    
                                        end  do; 
                              end  do;
                               end  if;
                              print(G_element||i); 
                        printf("THe images of the basis of %d order under Lie bracket",i);  
                         print(L_element||i);  printf("Resonant terms  of  %d order",i);  
                        print(Resonant||i); 
                       printf("Unresonant terms of  %d order",i);
                           print(UResonat||i);
                  end do;  
                   V_1:=add(V1||i,i=2..n_order);  
                   V_2:= add(V2||i,i=2..n_order-1);  
                    SYS1:=subs(V[1]=1,(LinearAlgebra[Multiply](B,Y)+sum(g1[z],z=2..3)));   printf("*********************************\\n");  

printf("The critical values needed for the  occurance of a Hopf bifurcation\\n");   printf("*********************************\\n");

  print(SC_subs);  

printf("*********************************\\n");

  printf("Bases of center space \\n");  

printf("*********************************\\n");  

print("Phi"=Phi);  print("psi"=P_si);  

printf("*********************************\\n");  

printf("nonlinear transformation V1\\n"); 

 printf("*********************************\\n");  print(V_1);   printf("*********************************\\n");    

  printf("nonlinear transformation V1\\n");  

   printf("*********************************\\n");  
  print(V_2);  printf("*********************************\\n");

       printf("  The normal form of the required order \\n"); 

 printf("*********************************\\n");

  print(map(factor,map(simplify,SYS1[1],exp)));       print(map(factor,map(simplify,SYS1[2],exp)));

printf("where\\n");   

    print([W[1]=W1]);

  sys_rhs := map(mtaylor, sys_rhs, [seq(seq(op([xt[i, j] = Eq_pos[i], xt[n_dim+i, j] = Eq_pos[i]]), i = 1 .. n_dim), j = 1 .. (n_delay+1))], n_order+1);   
               n_ode := 2;     
                var := VarSeq(n_dim, n_delay, var_par, dde_type);                                                                                                         svar:=seq(seq(xt[i,j],j=1..n_delay+1),i=1...n_dim);   
               dvar:=seq(seq(xt[i,j],j=1..n_delay+1),i=(n_dim+1)...2* n_dim);   
                n_var:=nops([var]);   
               n_svar:=nops([svar]);   
               n_dvar:=nops([dvar]);  
              for i from 1 to n_delay+1 do      
                     XT[i]:=;   
               end do;    
              for i from 1 to n_delay+1 do         
                   NXT[i]:=;  
              end do; V:=;  
              W:=LinearAlgebra[Transpose](); 
               Y:=;
              ylist:=[seq(y[i],i=1..n_ode)];
              H:=;  
                for  j from 2 to n_order do  
                     cat(h,j):=;   
                    H:=H+eval(cat(h,j)); 
                 end do;  
                ode_var:=seq(y[i],i=1..n_ode),op(var_par); 
                s_ode_var:=seq(y[i],i=1..n_ode);  
                n_ode_var:=nops([ode_var]);  
                 for  ii  from  1 to n_dim do      
                       for jj  from  2 to n_order do     
                           cat(h,jj,ii):=0;       
                            end do;  
                 end do;    
                S:=table():aa:=0;   
                for  j from  0  to  (n_order+1)^n_ode_var-1   do     
                       summands:=NULL;      
                        kk:=j;         
                 for m from 1 to n_ode_var do         
                        summands:=modp(kk,n_order+1);         
                        kk:=floor(kk/(n_order+1));   
                 end  do;   
                 S[summands]:=convert([summands],Matrix);  
                 for k from 2 to n_order do      
                  if S[summands]=k then           
                         for jj from  1 to  n_dim do                 
                               aa:=h||k||jj;                 
                               aa:=aa+(h[jj][summands])(theta)*mul(ode_var[i]^(summands)[i],i=1..n_ode_var);                                                          h||k||jj:=aa; 
                              end  do;        
                  end if;  
                 end do; 
               end do; 
             E_subs:=[]; 
              for i from 1 to n_dim do  
                   E_subs:=[op(E_subs),seq(xt[i,j]=Eq_pos[i],j=1..n_delay)]£» 
               end do; 
               for  i from 0 to n_delay do       
                    A[i]:= convert(subs(E_subs,linalg[jacobian](L||0,XT[i+1])),Matrix);       
                   B[i]:= convert(subs(E_subs,linalg[jacobian](sys_D_lhs,XT[i+1])),Matrix);  
               end  do;          
               ident:=Matrix(n_dim,shape=identity);          
                Delta:=lambda*sum('B[i]*exp(-lambda*tau[i])','i'=0..n_delay)-sum('A[i]*exp(-lambda*tau[i])','i'=0..n_delay);                    char_eq:=combine(collect(LinearAlgebra[Determinant](Delta),lambda));                                                                        D_Delta:=subs(lambda=I*omega,map(diff,Delta,lambda));                                                                                              eq_im:=evalc(subs(lambda=I*omega,char_eq));
                   eq_Re:=coeff(expand(eq_im),I,0);  
                  eq_Im:=coeff(expand(eq_im),I,1); 
                 SC_subs:=                                                                                                                                                                                                                                                                                               solve([eq_Re,eq_Im{op(selectfun(eq_Re,cos)),op(selectfun(eq_Re,sin)),op(selectfun(eq_Im,sin)),op(selectfun(eq_Im,cos))});  |
 Dv:=subs(lambda=I*omega,linearAlgebra[Multiply](Delta,V));   
                  V :=subs(op(solve([seq(Dv[i],i=1..n_dim-1)],[seq(v[i],i=2..n_dim)])),v[1]=1,V);   
                  assume_variables:=                                                                       seq(indets(eq_im,name[i]::real,i=1..nops(indets(eq_im,name))),theta::real,xi::real; 
                   phi[1]:=V*exp(I*omega*theta);   phi[2]:=evalc(map(conjugate,V)*exp(-I*omega*theta))assuming assume_variables; 
                    phi:=Matrix(phi[1],phi[2]);   
                    wD:=subs(lanbda=I*omega,LinearAlgebra[Multiply](W,Delta));                                 W:=subs(op(solve([seq(wD[i],i=1..n_dim-1)],[seq(w[i],i=2..n_dim)])),W);  
                    w1:=solve(linearAlgebra[Matrix](linearAlgebra[Multiply](W,D_Delta),V)=1,w[1]);                    psi[2]:=map(conjugate,W)*exp(I*omega*xi)assuming assume_variables;  
                   P_si:=Matrix([[psi[1]]],[[psi[2]]]); 
                    P_si_0:=subs(xi=0,P_si);  
                    B:=Matrix([[I*omega,0],[0,-I*omega]]);  
                     Phiy:=LinearAlgebra[Multiply](phi,Y);   
                      for  i from 0 to n_delay do       
                                 Phiyt[i]:=subs(theta=-tau[i],Phiy);  
                                 Phiyth[i]:=eval(subs(theta=-tau[i],Phiy+H));  
                     end do;
                       subs_group:={}:  subs_group_t:={};  
                     for  i from 0 to n_delay do 
                              for  j  from 1  to n_dim do        
　　　　　　　　　　　　　subs_group:={op(subs_group),XT[i+1][j]=Phiyt[i][j]};
　　　　　　　　　　　　    subs_group_h:={op(subs_group_t),XT[i+1][j]=Phiyth[i][j]};
　　　　　　　　  end do; 
　　　　　　 end do;  
　　　　　　subs_group_W:={};
　　　　　　linalg[jacobian]((L||0, XT[i+1]),"Matrix");
　　　　　　  for  i from 2 to  n_order do       
　　　　　　　　　 G_element||i:=[]; 
　　　　　　　　　  L_element||i:=[];  
　　　　　　　　　　 coe_element||i=[];  
　　　　　　　　　 Resonant||i:=[]; 
　　　　　　　　　  #IIndex||i:={};   
                                  j:'j';g1[i]:=;  
                                  V_Fn[i]:=;  
                                  V1||i:=;   
                                  indet_h||i:={};   eq_h||i:={};   eq_dh||i:={};   indet_c||i:={}; 
                        end do;  
                       for i from 2 to n_order do   
                                if dde_type="neutral" then    
                                          t1:=subs(subs_group,L||(i-1))+SigSum(add(subs(subs_group_L[k],L||(i-k)),k=2..(i-1)),n_dim);     
                                                    t2:=subs(subs_group,F||i)+SigSum(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww,l,k,i),Vector[column])),k=2..(i-1)),n_dim)+SigSum(add(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww,j,k,i),Vector[column])),k=j..i-j),j=2..floor(i/2)),n_dim);   

                                           t3:=SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply(subs([op(subs_group_W),op(subs_group)],VectorCalculus[Jacobian](Gx||i,convert(NXT[jj],list))),LinearAlgebra[Multiply](subs(theta=-tau[jj1],Phi),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))),jj=1..n_delay+1),n_dim)+SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(VectorCalculus[Jacobian](Gx||(k+1),convert(NXT[jj],list)),[svar],ww,j,k,i-1)),k=j..(i-1-j)),j=1..floor((i-1)/2)),LinearAlgebra[Multiply](subs(theta=-tau[jj-1],Phi),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))),jj=1..n_delay+1),n_dim)+     SigSum(add(add(LinearAlgebra[Multiply]((VectorCalculus[Jacobian](Gx||(I+1),convert(NXT[jj],list))+add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(VectorCalculus[Jacobian](Gx||(k+1),convert(NXT[jj],list)),[svar],ww,j,k,I)),k=j..I-j),j=1..floor(I/2))),subs(theta=-tau[jj-1],(LinearAlgebra[Multiply](Phi,g1[i-1])+LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](Phi,VectorCalculus[Jacobian](V1||(i-1),ylist))+VectorCalculus     [Jacobian](V2||(i-1),ylist),LinearAlgebra[Multiply](B,Y))+SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](Phi,VectorCalculus[Jacobian](V1||(k),ylist))+VectorCalculus[Jacobian](V2||(k),ylist,),g1[i-I-k+1]),k=2..i-I-1),n_dim)))),jj=1..n_delay+1),I=1..(i-2)),n_dim);                 K[i] :=t1+t2+t3;   
           elif dde_type="retarded" then    
                t1:=subs(subs_group,L||(i-1))+SigSum(add(subs(subs_group_L[k],L||(i-k)),k=2..(i-1)),n_dim);   
                  t2:= subs(subs_group,F||i)+SigSum(add(subs(subs_group_W,subs_group,convert(DiffMulvar(F||k,[svar],ww.l,k,i),Vector[column])),k=2..(i-1)),n_dim)+SigSum(add(add(subs(subs_group_W,subs_group,DiffMulvar(F||k,[svar],j,k,i)),k=j..i-j),j=2..floor(i/2)),n_dim);   
                K[i]:=t1+t2;        
            end if; 
            f1[i]:=LinearAlgebra[Multiply](P_si_0,K[i])-SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[jacobian](V1||k,ylist),g1[i+1-k]),k=2..(i-1)),n_ode); 
            V2||i:=h||i;  
           ode:=-LinearAlgebra[Multiply](Phi,LinearAlgebra[Multiply](P_si_0,K[i]))-SigSum(add(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[Jacobian](V2||k,ylist),g1[i+1-k]),k=2..i-1),n_dim)-(LinearAlgebra[Multiply](VectorCalculus[Jacobian](V2||i,ylist),LinearAlgebra[Multiply](B,Y)))+map(diff,V2||i,theta);  id:=0;   for  i_1 from 0 (1+i)^n_ode_var-1 do           sumindex:=NULL;           
             k:=i_1; 
                 for  j from 1 to  n_ode_var do    
                     sumindex:=sumindex,modp(k,i+1)+1;    
                      k:=floor(k/(i+1));  
                  end do;
               SS[sumindex]:=convert([sumindex],"+")-(n_ode_var);           
                if SS[sumindex]=i then                
                         id:=id+1;               
                       for m from 1 to n_ode do                       
                                ii:="ii":element[m]:=;                       
                                ii:="ii":element[m][m]:=product(ode_var[ii]^(sumindex[ii]-1),ii=1..n_ode_var);                        sus[m]:=convert(linalg[jacobian](element[m],Y),"Matrix");                       M_element[m]:=LinearAlgebra[Multiply](LinearAlgebra[Multiply](sus[m],B),Y)-LinearAlgebra[Multiply](B,element[m]);                       
                                c_element[m]:=M_element[m][m]/element[m][m];               
                                if  evalb(c_element[m]=0) then        
                                         Resonant||i:=[element[m],op(Resonant||i)];  
                                         tem:=CoeffMulvar(f1[i][m],[ode_var],map("-",[sumindex],1));     
                                          g1[i][m]:=g1[i][m]+tem*tem*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var);    
                                 else       
                                         UResonat||i:=[element[m],op(UResonat||i)]; 
                                        tem:=CoeffMulvar(f1[i][m],[ode_var],map("-",[sumindex],1)); 
                                        V_Fn[i][M]:=V1_Fn[i][m]+tem*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var); 
                                         (V1||i)[M]:=(V1||i)[M]+tem/c_element[M]*product(ode_var[ij]^(sumindex[ij]-1),ij=1..n_ode_var);
                                  end if;  
                                   G_element||i:=[element[m],op(G_element||i)];
                                    L_element||i:=[M_element[m],op(L_element||i)]; 
                                      coe_element||i:=[c_element[m],op(coe_element||i)];  
                                   end do;  
                                   for  mm from 1 to  n_dim do     
                                         indet_h||i:={CoeffMulvar(ode[mm],[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(indet_h||i)};     eq_h||i:={CoeffMulvar(V2||i[mm],[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(eq_dh||i)};   
                                        eq_dh||i:={CoeffMulvar(map(diff,V2||i[mm],theta),[ode_var],map("-",[sumindex],1)),op(eq_dh||i)}; 
                                    end do;  
                                 end if ;  
                              end do;  
                             if i <>n_order then   
                                      C_constant:={seq(cat(_C,i_constant),i_constant=1..id*n_dim)};     V2||i=subs(convert(dsolve(indet_h||i,eq_h||i),int),map(eval,V2||i)); 
                                          L_0:=       subs([seq(seq(xt[ii,jj]=subs(theta=-tau[jj-1],V2||i[ii]),jj=1..n_delay+1),ii=1..n_dim)],L||0);      
                                          DV :=subs([seq(seq(xt[ii,jj]=subs(theta=-tau[jj-1],subs(dsolve(indet_h||i,eq_h||i),subs(solve(indet_h||i,eq_dh||i),map(diff,V2||i,theta)))[ii]),jj=1..n_delay+1),ii=1..n_dim)],XT[1]); 
                                           I_ode[i]:=K[i]+L_0-DV;   
                            for  i_2 from o to (1+i)^n_ode_var-1  do    
                             sumindex_2:=NULL;  
                              k_2:=i_2;      
                             for  j_2 from 1 to n_ode_var do                                     sumindex_2:=sumindex_2,modp(k_2,i+1)+1;    
                                k_2:=floor(k_2/(i+1));  
                               end do;     
                             SS2[sumindex_2]:=convert([sumindex_2],"+")-(n_ode_var);    
                              if SS2[sumindex_2]=i then        
                             for  mm_2 from 1 to n_dim do         
                                       indet_c||i:={CoeffMulvar(I_ode[i][mm_2],[ode_var],map("-",[sumindex_2],1)),op(indet_c||i)};    end  do;  
end if;     
                     end do;  
                               V2||i:=subs(solve(indet_c||i,C_constant),map(eval,V2||i)); 
                             W||i:=LinearAlgebra[Multiply](Phi,V1||i+V2||i); 
                            for  i_w from  1 to  n_delay+1 do      
                                 (WW||i)[i_w]:=subs(theta=-tau[i_w-1],W||i);  
                             end  do;  
                          subs_group_L[i]:={};   
                            ix:=1;   
                            for  i_s from  1 to n_dim do      
                                      for  j_s from  1  to  n_delay+1  do  
                                                subs_group_L[i]:={op(subs_group_L[i]),XT[j_s][i_s]=(WW||i)[j_s][i_s]};   subs_group_W:={op(subs_group_W),ww[ix][i]=(WW||i)[j_s][i_s]};  ix:=ix+1;    
                                        end  do; 
                              end  do;
                               end  if;
                              print(G_element||i); 
                        printf("THe images of the basis of %d order under Lie bracket",i);  
                         print(L_element||i);  printf("Resonant terms  of  %d order",i);  
                        print(Resonant||i); 
                       printf("Unresonant terms of  %d order",i);
                           print(UResonat||i);
                  end do;  
                   V_1:=add(V1||i,i=2..n_order);  
                   V_2:= add(V2||i,i=2..n_order-1);  
                    SYS1:=subs(V[1]=1,(LinearAlgebra[Multiply](B,Y)+sum(g1[z],z=2..3)));   printf("*********************************\\n");  

printf("The critical values needed for the  occurance of a Hopf bifurcation\\n");   printf("*********************************\\n");

  print(SC_subs);  

printf("*********************************\\n");

  printf("Bases of center space \\n");  

printf("*********************************\\n");  

print("Phi"=Phi);  print("psi"=P_si);  

printf("*********************************\\n");  

printf("nonlinear transformation V1\\n"); 

 printf("*********************************\\n");  print(V_1);   printf("*********************************\\n");    

  printf("nonlinear transformation V1\\n");  

   printf("*********************************\\n");  
  print(V_2);  printf("*********************************\\n");

       printf("  The normal form of the required order \\n"); 

 printf("*********************************\\n");

  print(map(factor,map(simplify,SYS1[1],exp)));       print(map(factor,map(simplify,SYS1[2],exp)));

printf("where\\n");   

    print([W[1]=W1]);