关于强连通图和欧拉图的一些粗浅理解

由于上一道题涉及了环，所以我当时就在纠结一个问题，强连通图是否一定可以是环形的？（就是说强连通图是否一定是欧拉图？= 是否一定有欧拉回路？= 是否一定有一笔画的环形路线？）

现在，我给出答案，不一定。下面所说的欧拉路径（4月4日注：半欧拉图，只有欧拉通路没有欧拉回路）不包含欧拉回路。
下面几点都是关于有向图。

1. 强连通图不一定是欧拉图。反例如下：（但是这个强连通图有欧拉路径）
   

2. 连通的欧拉图一定是强连通图。（想想孤立点？2333）（4月4日注：这个连通指的可以是单连通，也可以是弱连通）
   所以欧拉图不一定是强连通图。

3. 一个有向图是欧拉图当且仅当这个有向图满足性质A且每个点的出度等于入度。（欧拉回路的定义是访问图中所有边各一次的环路，所以一个图中若有孤立点也无妨，照样有可能是欧拉图，因为欧拉回路没说非要访问每个点）
   4月4日注：（性质A：这个有向图的基图要么是连通图，要么有N个连通分量且其中N-1个连通分量都是孤立点。）设想如下反例就明白了：
   

4. 强连通图不一定有欧拉路径。两个反例如下：
   

5. 有欧拉路径的有向图不一定是强连通图。反例如下：
   

6. 一个有向图有欧拉路径当且仅当该有向图满足性质A且有两个点入度和出度不等（而且一个点出度比入度多1（作为欧拉路径的起点），另一个点出度比入度少1（作为欧拉路径的终点）），其他点的入度等于出度。

7. 在欧拉路径上添一条终点到起点的边，就成了欧拉回路（欧拉图）。

对于无向图，（第3点和第6点）的第二个条件改成全是偶点和恰两个奇点（其他都是偶点）。

另，对于一个有向单连通图（4月4日注：有向弱连通图也行）而言，再加上每个点出入度相等的条件，就成了强连通图，当然也成了欧拉图。想一想加上这个条件为什么能变成强连通图？（随便设想两个点，本来两点之间只能保证单向连通（或基图连通），加上这个条件后如何证明双向连通？）

4月4日注：对于有向单连通图，如下图所示，已知两点间有一条蓝色的路径，证明加上每个点出入度相等的条件后一定有一条绿色的路径。

对于有向弱连通图，如下图所示，已知两点间在基图上连通，两点间的边只有两种方向，证明加上每个点出入度相等的条件后一定对于两个方向都各有一条与之方向相反的绿色路径。