Android OpenCV（三十四）：直线拟合

概念

直线拟合

霍夫直线检测是检测图像中是否存在直线，直线拟合则是假定我们已经知道点数据是在一条直线上，需要利用这些数据拟合出一条直线，但是由于噪声的存在，这条直线可能并不会通过大多数的数据点，此时，我们无法使用直线检测方式来寻找直线，而只能通过直线拟合的方式来求出这条直线。那么如何拟合直线呢？一般我们采用最小二乘法来保证所有数据点距离直线的距离最小，从而得出这条拟合出来的直线。

最小二乘法

最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：

$$标函数=\sum （观测值-理论值{）}^2$$
最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合
其他一些优化问题也可通过 最小化能量或 最大化熵用最小二乘法来表达。

假设现在有点
$$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\dots \dots (x_n,y_n)$$
设拟合多项式为：
$$y=ax+b$$
平方偏差为：
$$\begin{gathered} e^2=\sum _{i=1}^n(y_i-y{)}^2 \\ {e}^2=\sum _{i=1}^n(y_i-(a{x}_i+b){)}^2 \end{gathered}$$
我们要找到一组最好的a和b 能使得所有的误差达到最小化。上面公式分别对a和b求偏导：
$$\begin{gathered} \frac{\partial e}{\partial a}=\sum _{i=1}^{n}2(y_i-(a{x}_i+b)(-x_i))=0 \\ =\sum _{i=1}^n(a{x}_i^2+b{x}_i-y_i{x}_i)=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 得到等式 \\ （\sum _{i=1}^n{x}_i^2）a+(\sum _{i=1}^n)b=\sum _{i=1}^n{y}_i{x}_i \\ \frac{\partial e}{\partial b}=\sum _{i=1}^{n}2(y_i-(a{x}_i+b)(-1))=0 \\ =\sum _{i=1}^n(a{x}_i+b-y_i)=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 得到等式 \\ （\sum _{i=1}^n{x}_i）a+nb=\sum _{i=1}^n{y}_i \\ \{\begin{array}{rlr}a\sum _{i=1}^n{x}_i& =\sum _{i=1}^n{y}_i-bn& (1)\\ a\sum _{i=1}^n{x}_i^2& =\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-b\sum _{i=1}^{n}x& (2)\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (1)/(2)得到 \\ \frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{y}_i-bn}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-b{\sum }_{i=1}^{n}x}(3) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (3)交叉相乘后化简 \\ \sum _{i=1}^n{x}_i\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-b(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\sum _{i=1}^n{y}_i-bn\sum _{i=1}^n{x}_i^2(4) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 通过(4)求得 \\ \{\begin{array}{rl}a& =\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{y}_i-n{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i}{({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2-n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}\\ b& =\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2{\sum }_{i=1}^n{y}_i}{({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2-n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}\end{array} \end{gathered}$$

Excel直线拟合

给定一组数据，然后用散点图的方式展示后选择线性趋势线，完成直线拟合。

GeoGebra 直线拟合

API

public static void fitLine(Mat points, Mat line, int distType, double param, double reps, double aeps)

• 参数一：points，待拟合直线的点集。2D或3D点的输入向量，存储在std :: vector <>或Mat中

• 参数二：line，输出线路参数。如果是2D拟合，则它应该是4个元素的向量（例如Vec4f）-（vx，vy，x0，y0），其中（vx，vy）是与线共线的归一化向量，而（x0，y0 ）是直线上的一点。如果是3D拟合，则它应该是6个元素的向量（例如Vec6f）-（vx，vy，vz，x0，y0，z0），其中（vx，vy，vz）是与线共线的归一化向量和（x0，y0，z0）是直线上的一点

• 参数三：distType，最小二乘法使用的距离类型标志。

  enum DistanceTypes {
         
      DIST_USER    = -1,  //!< User defined distance
      DIST_L1      = 1,   //!< distance = |x1-x2| + |y1-y2|
      DIST_L2      = 2,   //!< the simple euclidean distance
      DIST_C       = 3,   //!< distance = max(|x1-x2|,|y1-y2|)
      DIST_L12     = 4,   //!< L1-L2 metric: distance = 2(sqrt(1+x*x/2) - 1))
      DIST_FAIR    = 5,   //!< distance = c^2(|x|/c-log(1+|x|/c)), c = 1.3998
      DIST_WELSCH  = 6,   //!< distance = c^2/2(1-exp(-(x/c)^2)), c = 2.9846
      DIST_HUBER   = 7    //!< distance = |x|
  };
  

• 参数四：param，某些距离类型的数值参数（C）。如果为0，则会自动选择一个最佳值

• 参数五：reps，坐标原点与拟合直线之间的距离精度，数值为0表示选择自适应参数，一般选择0.01

• 参数六：aeps，拟合直线的角度精度，数值0表示选择自适应参数，一般选择0.01

标志位计算公式

• DIST_L1
  $$\rho (r)=r$$

• DIST_L2
  $$\rho (r)=r^2/2\text{(the simplest and the fastest least-squares method)}$$

• DIST_L12
  $$\rho (r)=2\cdot (\sqrt{1+\frac{r^2}{2}}-1)$$

• DIST_FAIR
  $$\rho \left(r\right)=C^2\cdot \left(\frac{r}{C}-\log \left(1+\frac{r}{C}\right)\right)\text{where}C=1.3998$$

• DIST_WELSCH
  $$\rho \left(r\right)=\frac{C^2}{2}\cdot \left(1-\exp \left(-{\left(\frac{r}{C}\right)}^2\right)\right)\text{where}C=2.9846$$

• DIST_HUBER
  $$\begin{gathered} \rho \left(r\right)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{r^2}{2},& 当r<C时\\ & C(r-\frac{C}{2}),& 其他\end{array} \\ 其中C=1.345 \end{gathered}$$

操作

/**
 * 直线拟合
 * author: yidong
 * 2020/9/8
 */
class FitLineActivity : AppCompatActivity() {
     

    private lateinit var mBinding: ActivityFitLineBinding
    private val mPoints = MatOfPoint(
        Point(1.0, 21.0),
        Point(2.0, 34.0),
        Point(3.0, 43.0),
        Point(4.0, 67.0),
        Point(5.0, 79.0),
        Point(6.0, 66.0),
        Point(7.0, 67.0),
        Point(8.0, 88.0),
        Point(9.0, 90.0),
        Point(10.0, 100.0)
    )

    override fun onCreate(savedInstanceState: Bundle?) {
     
        super.onCreate(savedInstanceState)
        mBinding = DataBindingUtil.setContentView(this, R.layout.activity_fit_line)
        mBinding.presenter = this

        val points = StringBuilder()
        for (point in mPoints.toList()) {
     
            points.append(point.toString() + "\n")
        }
        mBinding.tvPoints.text = points
    }


    fun doFitLine() {
     
        val result = Mat()
        Imgproc.fitLine(mPoints, result, Imgproc.DIST_L1, 0.0, 0.00, 0.00)
        val lines = FloatArray(4)
        val tmp = FloatArray(1)
        for (i in 0 until result.rows()) {
     
            result.get(i, 0, tmp)
            lines[i] = tmp[0]
        }
        val k = lines[1] / lines[0]
        mBinding.tvResult.text = "y=$k(x-${
       lines[2]})+${
       lines[3]}"
        result.release()
    }
}

效果

疑问：OpenCV拟合结果和Excel略有差异，用GeoGebra拟合的直线和Excel相同。有知道的朋友欢迎不吝赐教。

源码

https://github.com/onlyloveyd/LearningAndroidOpenCV

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