对lucas定理的理解

简单的对lucas定理的理解，是从amberframe老师那里学习的时候听来的。

lucas定理：c(x,y)=c(x%p,y%p)*c(x/p,y/p) (mod p)

那么我们考虑现在是从x个格子中选y个小球放进去，

在mod p意义下，我们令x=pa+q，y=pn+m

我们将这x个格子划分成a列和一个大小为q的小的矩形，

首先考虑往这a列格子中放小球，对于任意一列来说，如果这一列非空而且还不是满的，我们对小球进行滚动，那么一定能在这一列中滚出p种方法来，因为列的长度为p。那么对于这p种方法，最后mod p的时候会变成0，又因为这是分部乘法计数，就会导致整个都为0。这时候我们就需要对于一列格子来说，要么填满，要么不填，我们有y个球，可以填满n列格子，那么方案书就是c(a,n),

对于剩下的球和格子来说，随便放即可，有c(q,m)种方法，两个分部，总的方案数就是c(a,n)*c(q,m).

 

这可以算是lucas定理的一个比较容易理解的解释了。