Carmichael function[卡迈克尔函数相关性质]

Carmichael函数

在数论中，Carmichael函数的定义为使得$a^m\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$成立的最小正整数$m$，其中$(a,n)=1$，将$m$记作$\lambda (n)$。在抽象代数术语中，$\lambda (n)$是模$n$的乘法群的指数。

Carmichael函数也被称为规约函数(reduced totient function)以及最小泛指数函数(least universal exponent function)。

下图是一张Carmichael函数$\lambda (n)$与欧拉函数$\phi (n)$的对比表：

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
$\lambda (n)$	1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20	12	18	6	28	4	30	8	10	16	12	6
$\phi (n)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8	30	16	20	16	24	12

示例

对于8的Charmichael函数是2，即$\lambda (8)=2$，则对于任意的$a$满足$(a,8)=1$，有$a^2=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$。也就是说$1^2\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$，$3^2=9\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$，$5^2=25\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$，以及$7^2=49\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$。

对于欧拉函数来说，$\phi (8)=4$，因为欧拉函数只需要满足对于所有与8互素的数$a$，有$a^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$，而不需要满足$a$的最小性。

用Carmichael定理计算$\lambda (n)$

根据唯一因式分解定理，任何n>1的整数都可以用唯一的方式写成
$$n=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}$$
其中，$p_1<p_2<\dots <p_k$是有小到大排列的素数，$r_1,r_2,\dots ,r_k$是正整数。那么，$\lambda (n)$就是其中每一项的λ的最小公倍数，有：
$$\lambda (n)=\mathrm{lcm}\left(\lambda \left(p_1^{r_1}\right),\lambda \left(p_2^{r_2}\right),\dots ,\lambda \left(p_k^{r_k}\right)\right)$$
上述的公式可由中国剩余定理来证明。

Carmichael定理

Carmichael定理解释了如何计算素数幂$p^r$的$\lambda (p^r)$：对于奇数素数的幂以及2和4，$\lambda (p^r)$等于欧拉函数$\phi (p^r)$；对于$2^3$及以上的2的幂次，它等于欧拉函数的一半，即：
$$\lambda \left(p^r\right)=\{\begin{array}{ll}\phi \left(p^r\right)& \text{ if }{p}^r=2,3^r,4,5^r,7^r,11^r,13^r,17^r,19^r,23^r,29^r,31^r,\dots \\ \frac{1}{2}\phi \left(p^r\right)& \text{ if }{p}^r=8,16,32,64,128,256,\dots \end{array}$$
素数幂$p^r$的欧拉函数的计算方法是：
$\phi \left(p^r\right)=p^{r-1}(p-1)$

Carmichael函数的性质

设$a$和$n$互素，$m$是最小指数，$a^m\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，那么有：
$m\mid \lambda (n)$
也就是说，模$n$整数环中任意元素$a$的阶$m:={\mathrm{ord}}_n(a)$整除$\lambda (n)$。同时还有：
$\lambda (n)=\max \left\{{\mathrm{ord}}_n(a):\gcd (a,n)=1\right\}$
$a|b\Rightarrow \lambda (a)|\lambda (b)$
$\lambda (\mathrm{lcm}(a,b))=\mathrm{lcm}(\lambda (a),\lambda (b))$