[SDOI2015]约数个数和

题面

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(ij)$$
$d(x)$表示x的约数个数

题解

其实写这篇题解主要是为了证明下面这个式子：
$$d(ij)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(i,j)=1]$$
证明完这个式子后直接带入就很容易莫比乌斯反演了，之后的过程比较套路，就不写了，直接放证明。

证明：

设$i=2^{a_1}{3}^{a_2}{5}^{a_3}...p_i^{a_i}...$
$j=2^{b_1}{3}^{b_2}{5}^{b_3}...p_i^{b_i}...$

那么对于每个ij的约数x，$x=2^{c_1}{3}^{c_2}{5}^{c_3}...p_i^{c_i}...$

$a_i+b_i\ge c_i\ge 0$

也就是$c_i\in [0...a_i+b_i]$

如果$c_i\in [0...a_i]$，那么$c_i\le a_i$，$p_i^{c_i}|p_i^{a_i}$
如果$c_i\in (a_i...a_i+b_i]$，那么$c_i-a_i\le b_i$，$p_i^{c_i-a_i}|p_i^{b_i}$

也就是说对于每个$p_i$，x一定可以要么映射成i的因子，要么映射成j的因子。

那么将每个质因子如此映射，所以每个ij的因子都可以分成两部分，一部分完全是i的因子，一部分完全是j的因子，这两部分一定互质（因为对于任意i，$a_i$和$b_i$只有一个大于零）

证毕。

放代码：

#include
using namespace std; 
template<typename tn> void read(tn &a){
     
	tn x=0,f=1;char c=' ';
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(; isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	a=x*f;
}
const int N=5e4+5;
#define int long long
bool is_prime[N];
int prime[N>>2],cnt,mu[N],Sum[N],dil[N];
int T,n,m;
signed main(){
     
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
     
		if(!is_prime[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++){
     
			is_prime[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0){
     
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			mu[prime[j]*i]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++) Sum[i]=Sum[i-1]+mu[i];
	for(int i=1;i<N;i++)
		for(int l=1,r;l<=i;l=r+1){
     
			r=i/(i/l);
			dil[i]+=(r-l+1)*(i/l); 
		}
	read(T);
	while(T--){
     
		read(n);
		read(m);
		int k=min(n,m);
		int ans=0;
		for(int l=1,r;l<=k;l=r+1){
     
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans+=(Sum[r]-Sum[l-1])*dil[n/l]*dil[m/l];
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}