矩阵等价-相似-合同

1.矩阵等价
2.矩阵相似
3.矩阵合同

矩阵等价

定义

如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就成矩阵A与B行等价。

如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，就成矩阵A与B列等价。

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。

性质

反身性：A~A
对称性：若A_B，则BA
传递性：若A_B,BC,则A~C

推论：

有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。
r(A)=r(B），且A与B为同型矩阵。

矩阵相似

定义

设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P^{(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵，对A进行运算P}(-1)AP称对A进行的相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。

性质

1.若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同。

2.n阶矩阵A与对角矩阵相似（A可以对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论

若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则λ1,λ2,λ3…λn即是A的n个特征值。
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似。
A与某对角矩阵相似，B也与该对角矩阵相似，则A与B相似。
|A|=|B|，r(A)=r(B),A与B迹相等。

矩阵合同

一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

定义

b两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C使得C^(T）AC=B，则称A与B合同，并称由A到B的变换为合同变换，称C为合同变换的矩阵。

性质

一个二次型是半正定二次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。对于半正定二次型，其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。
正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列式大于0。对于正定二次型，其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n，同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即PT=P(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。