（DP+组合数）[Lydsy2017省队十连测]商店购物
[Lydsy2017省队十连测]商店购物
Description
在 Byteland一共开着 n家商店，编号依次为 1到 n，其中编号为1到 m的商店有日消费量上限，第 i家商店的日消费量上限为wi。Byteasar每次购物的过程是这样的：依次经过每家商店，然后购买非负整数价格的商品，并在结账的时候在账本上写上在这家商店消费了多少钱。当然，他在这家商店也可以什么都不买，然后在账本上写上一个0。这一天， Byteasar日常完成了一次购物，但是他不慎遗失了他的账本。他只记得自己这一天一共消费了多少钱，请写一个程序，帮助 Byteasar计算有多少种可能的账单。
-
Input
第一行包含三个正整数
n, m, k，分别表示商店的个数、有限制的商店个数以及总消费量。
第二行包含 m个整数，依次表示 w1;w2…wm。
1 ≤ m ≤ n，0≤ wi ≤ 300，1 ≤ n, k ≤ 5000000
m<=300 -
Output
输出一行一个整数，即可能的账单数，由于答案可能很大，请对1000000007取模输出。
Sample Input
3 2 8
2 1
Sample Output
6
HINT
6 种方案分别为：
{0; 0; 8};
{1; 0; 7};
{2; 0; 6};
{0; 1; 7};
{1; 1; 6};
{2; 1; 5}。
我首先看到这道题：DP！！
对，没错这显然是DP可写的。所以我们考虑DP的写法。
20分代码
首先我们先做简单的背包：
f i , j \ f_{i,j} fi,j为前个商店总消费为j的方案数，易得方程：
f i , j = ∑ k = j − w i j f i − 1 , k , i < = m f_{i,j}= \sum_{k=j-w_{i}}^{j} f_{i-1,k}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,i<=m fi,j=k=j−wi∑jfi−1,k,i<=m
f i , j = ∑ k = 0 j f i − 1 , k , m < i < = n f_{i,j}=\sum_{k=0}^{j}f_{i-1,k}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,m<i<=n fi,j=k=0∑jfi−1,k,m<i<=n
所以用 O(nk^2) 枚举一下就可以了。
50分代码
我们发现状态的转移的是 f i − 1 \ f_{i-1} fi−1上的一段连续区间，那么我们只用搞一个前缀和。
设 s i , j \ s_{i,j} si,j
s i , j = ∑ k = 0 j f i , k s_{i,j}=\sum_{k=0}^{j}f_{i,k} si,j=k=0∑jfi,k
即
s i , j = s i , j − 1 + f i , j s_{i,j}=s_{i,j-1}+f_{i,j} si,j=si,j−1+fi,j
每次求出第i天的 f i , j \ f_{i,j} fi,j数组值就再枚举求出 s i , j \ s_{i,j} si,j即可。
我们也可以得到DP式：
f i , j = s i − 1 , j − s i − 1 , j − w i − 1 , i < = m f_{i,j}=s_{i-1,j}-s_{i-1,j-w_{i}-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,i<=m fi,j=si−1,j−si−1,j−wi−1,i<=m
f i , j = s i − 1 , j , m < i < = n f_{i,j}=s_{i-1,j}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,m<i<=n fi,j=si−1,j,m<i<=n
当然我们也可以动态地维护前缀和。
对于 1 − m \ 1-m 1−m，如下（使用了滚动数组）。复杂度 O(nk)
s u m \ sum sum为前缀和。
last=now;
now^=1;
j=0;
sum=0;
while(j<=tot)
{
sum+=f[last][j];
sum%=1000000007;
if(j>w[i])
{
sum-=f[last][j-w[i]-1];
sum%=1000000007;
sum+=1000000007;
sum%=1000000007;
}
sum+=1000000007;
sum%=1000000007;
f[now][j]=sum;
++j;
}
100分代码
由于 m \ m m很小，容易想到先预处理出前m家商店，再用组合数求出之后的值。
设 t o t \ tot tot为前m家商店的 w i \ w_{i} wi总合。
不难看出
a n s = ∑ j = 0 m i n ( k , t o t ) f m , j ∗ ( k − j + n − 1 k − j ) ans=\sum_{j=0}^{min(k,tot)}f_{m,j}*\binom{k-j+n-1}{k-j} ans=j=0∑min(k,tot)fm,j∗(k−jk−j+n−1)
其中组合数可以由逆元求出。复杂度 O(mk+k+n)
AC代码
#include总结
是一道很好的题目，给足了暴力分，数据也引导人循序渐进。
有难度但想到正解并不难。是一道水题。