问题描述

YL中学有一位叫做tty的土豪，他很有钱，而且实力非凡，才高八斗，玉树临风，德才兼备，雄才大略，满腹经纶(此处省略1000字)，（还是个大逗比）。因此有很多妹子追求她，但是他都看丌上，他一心一意的爱着”唐诗“的好朋友**（具体叫什么请自己脑补，我丌能说，丌然会被打。。。。。。）。”唐诗“的好朋友**眼界也很高，而且很喜欢数学，所以出了一道math题目，如果tty能够回答出来的话就可以得到 ** 的爱。具体题目是这样的：求出

的值。其中是实数，其他的都是整数。令人头疼的是，tty正好数学不好啊，为了他的终生幸福，所以他来求助了你，请你帮他算出结果。

输入文件

输入仅有一行。

第一行仅有两个正整数N，M和一个实数x。

输出文件

输出共1行，由亍结果过大，所以请输出上式对998244353取模的结果。

样例输入

2 3 1

样例输出

样例解释

当n=1,m=1时，sum=1 
当n=1,m=2时，sum=1 
当n=1,m=3时，sum=1 
当n=2,m=1时，sum=1 
当n=2,m=2时，sum=1 
当n=2,m=3时，sum=2 
所以答案是7 
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数据规模

对于20%的数捤：N，M<=100

对于50%的数捤：N，M<=2000

对于100%的数捤：N，M<=500000，0

说实话，我其实是很不想帮这个忙的，但既然人家都求助了，我也不好拒绝（强装镇定）

题解

先解决一个简单粗暴的数学问题

对于给定的 , , ,求出

转换一下

然后有一个很玄学的结论，回头看了证明再来证明

结论：对于n,m:

若有

则这个数列为

的d次重复

因此，原式中

$\sum_{k=0}^{k<m}\lfloor\frac{nk\mod m+x}{m}\rfloor=d\cdot\sum_{k=0}^{k<\frac{m}{d}}\lfloor\frac{\frac{kd+x}{d}}{\frac{m}{d}}\rfloor=d\cdot\sum_{k=0}^{k<\frac{m}{d}}\lfloor\frac{k+\frac{x}{d}}{\frac{m}{d}}\rfloor$

易得有

使其中的 ,，则易得

而最后一部分

所以结果就是

重新回到题目，就变成了

其中

先把好求的求了

然后比较不好求的实际上我们只需要求出每一个的个数

设为的数对的个数

然后就可以快速求出结果了

tty的求助