《数据结构与算法》知识点（四）

第七章 查找

顺序查找、折半查找、索引查找、分块查找是静态查找，动态查找有二叉排序树查找，最优二叉树查找，键树查找，哈希表查找

静态查找表

顺序表的顺序查找：应用范围：顺序表或线性链表表示的表，表内元素之间无序。查找过程：从表的一端开始逐个进行记录的关键字和给定值的比较。

顺序有序表的二分查找。平均查找时间(n+1)/n log2(n+1)

分块查找：将表分成几块，块内无序，块间有序，即前一块中的最大值小于后一块中的最小值。并且有一张索引表，每一项存放每一块的最大值和指向该块第一个元素的指针。索引表有序，块内无序。所以，块间查找用二分查找，块内用顺序查找，效率介于顺序和二分之间；先确定待查记录所在块，再在块内查找。因此跟表中元素个数和块中元素个数都有关。

用数组存放待查记录,

建立索引表，由每块中最大（小）的关键字及所属块位置的信息组成。

当索引表较大时，可以采用二分查找

在数据量极大时，索引可能很多，可考虑建立索引表的索引，即二级索引，原则上索引不超过三级

分块查找平均查找长度：ASLbs = Lb + Lw。其中，Lb是查找索引表确定所在块的平均查找长度， Lw是在块中查找元素的平均查找长度。在n一定时，可以通过选择s使ASL尽可能小。当s=sqrt(n)时，ASL最小。

时间：顺序查找最差，二分最好，分块介于两者之间

空间：分块最大，需要增加索引数据的空间

顺序查找对表没有特殊要求

分块时数据块之间在物理上可不连续。所以可以达到插入、删除数据只涉及对应的块；另外，增加了索引的维护。

二分查找要求表有序，所以若表的元素的插入与删除很频繁，维持表有序的工作量极大。

在表不大时，一般直接使用顺序查找。

动态查找

二叉排序树的结点删除：

x为叶子结点，则直接删除

x只有左子树xL或只有右子树xR ,则令xL或xR直接成为双亲结点f的子树；

x即有左子树xL也有右子树xR，在xL中选值最大的代替x，该数据按二叉排序树的性质应在最右边。

平衡二叉树：每个结点的平衡因子都为 1、－1、0 的二叉排序树。或者说每个结点的左右子树的高度最多差1的二叉排序树。

平衡二叉树的平衡：

左调整(新结点插入在左子树上的调整)：

LL(插入在结点左子树的左子树上)：旋转前后高度都为h+1

LR(新插入结点在左子树的右子树上)：旋转前后高度仍为h+1

右调整(新结点插入在右子树上进行的调整):

RR(插入在的右子树的右子树上)：处理方法和 LL对称

RL(插入在的右子树的左子树上)：处理方法和 LR对称

平衡树建立方法：

按二叉排序树插入结点

如引起结点平衡因子变为|2|，则确定旋转点，该点是离根最远（或最接近于叶子的点）

确定平衡类型后进行平衡处理，平衡后以平衡点为根的子树高不变

最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

常见的平衡二叉树：

红黑树是平衡二叉树，也就是左右子树是平衡的，高度大概相等。这种情况等价于一块完全二叉树的高度，查找的时间复杂度是树的高度，为logn，插入操作的平均时间复杂度为O(logn)，最坏时间复杂度为O(logn)

节点是红色或黑色。

根是黑色。

所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）。

每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

从任一节点到其每个叶子的所有简单路径 都包含相同数目的黑色节点。

avl树也是自平衡二叉树；红黑树和AVL树查找、插入、删除的时间复杂度相同；包含n个内部结点的红黑树的高度是o(logn); TreeMap 是一个红黑树的实现，能保证插入的值保证排序

STL和linux多使用红黑树作为平衡树的实现：

如果插入一个node引起了树的不平衡，AVL和RB-Tree都是最多只需要2次旋转操作，即两者都是O(1)；但是在删除node引起树的不平衡时，最坏情况下，AVL需要维护从被删node到root这条路径上所有node的平衡性，因此需要旋转的量级O(logN)，而RB-Tree最多只需3次旋转，只需要O(1)的复杂度。

其次，AVL的结构相较RB-Tree来说更为平衡，在插入和删除node更容易引起Tree的unbalance，因此在大量数据需要插入或者删除时，AVL需要rebalance的频率会更高。因此，RB-Tree在需要大量插入和删除node的场景下，效率更高。自然，由于AVL高度平衡，因此AVL的search效率更高。

map的实现只是折衷了两者在search、insert以及delete下的效率。总体来说，RB-tree的统计性能是高于AVL的。

查找总结

既希望较快的查找又便于线性表动态变化的查找方法是哈希法查找。二叉排序树查找，最优二叉树查找，键树查找，哈希法查找是动态查找。分块、顺序、折半、索引顺序查找均为静态。分块法应该是将整个线性表分成若干块进行保存，若动态变化则可以添加在表的尾部（非顺序结构），时间复杂度是O(1)，查找复杂度为O(n)；若每个表内部为顺序结构，则可用二分法将查找时间复杂度降至O(logn)，但同时动态变化复杂度则变成O(n)；顺序法是挨个查找，这种方法最容易实现，不过查找时间复杂度都是O(n)，动态变化时可将保存值放入线性表尾部，则时间复杂度为O(1)；二分法是基于顺序表的一种查找方式，时间复杂度为O(logn)；通过哈希函数将值转化成存放该值的目标地址，O（1）

二叉树的平均查找长度为O(log2n)——O(n).二叉排序树的查找效率与二叉树的高度有关，高度越低，查找效率越高。二叉树的查找成功的平均查找长度ASL不超过二叉树的高度。二叉树的高度与二叉树的形态有关，n个节点的完全二叉树高度最小，高度为[log2n]+1,n个节点的单只二叉树的高度最大，高度为n，此时查找成功的ASL为最大(n+1)/2，因此二叉树的高度范围为[log2n]+1——n.

链式存储不能随机访问，必须是顺序存储

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