SAR成像(一)：线性调频信号(LFM)和脉冲压缩

文章仅为个人理解，如有不妥之处欢迎指正。

1、脉冲压缩目的和意义
在雷达系统中，距离分辨率是很重要的一项性能指标，它决定了雷达能分辨两个单元之间的最小距离，更通俗的，即雷达分辨相离较近物体的能力。而决定雷达分辨率的是发射信号带宽，所以我们想要提高距离分辨率，就需要发射更窄的脉冲信号，但是，窄脉冲就意味着发射信号能量小，导致探测距离短，所以，对于一般的脉冲信号（脉宽、时宽乘积约为1），比如矩形脉冲信号，带宽和时宽不能同时增大，因此距离分辨率和探测距离是一对矛盾。
脉冲压缩技术就能比较好的解决上述两个参量之间的矛盾，用宽脉冲发射信号，保证足够的探测距离，在接收端用相应的匹配滤波器，通过脉冲压缩技术得到窄脉冲，以此来提高距离分辨率。

2、线性调频信号
大时宽的宽频信号有很多形式，在雷达系统中最常用的是线性调频（Linear Frequency Modulation）脉冲信号。LFM脉冲信号的载频在脉冲宽度范围内线性变化，因此也有更宽的带宽。
LFM信号的复数表达式为：
$$s(t)=rect(\frac{t}{\tau })e^{j2\pi (f_0+K{t}^2/2)}$$
其中，$f_0$为初始载频，$\tau$为脉冲宽度，$K$为发射线性调频信号的调频斜率，且
$$rect(\frac{t}{\tau })=\{\begin{array}{l}1,\text{ ∣t∣≤τ/2}\\ 0,\text{ ∣t∣≥τ/2}\end{array}$$ $$K=B/\tau$$ $B$为信号带宽。
信号的瞬时频率$f(t)$为：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{d}{dt}[2\pi (f_{0}t+K{t}^2/2)]=f_0+Kt$$
当$B$=20MHz，$\tau$=10$\mu s$时，线性调频信号波形和频谱如下图所示：

还有一点不得不强调，LFM脉冲信号的带宽和时宽都是可以自己选择的，不像矩形脉冲信号那样带宽和时宽相互制约。

3、脉冲压缩
脉冲压缩的理论基础是匹配滤波。对雷达接收的回波信号进行脉冲压缩后有两个好处：增加信噪比；压缩信号宽度。
匹配滤波是一种最优滤波器，只要我们给予输入的是某一确知信号，并加上白噪声，那么就能让输出的信噪比达到最大。
将回波信号记为$f(t)$，设滤波器的传输函数为$H(w)$，则为了满足最大输出信噪比，$H(w)$的表达式为：$$H(w)=K{F}^{\ast }{e}^{-jw{t}_0}$$
上式中，$F^{\ast }$为$f(t)$傅里叶变换的共轭；$t_0$是物理器件的时间延时；$K$为增益常数。
从时域角度看，匹配滤波器也可以用冲激函数$h(t)$来表示，则上式描述的滤波器冲击响应为：$$h(t)=K{f}^{\ast }(t_0-t)$$
脉冲压缩要在雷达后端接收机由数字信号处理器件完成，而在这个过程中，由于器件速度的限制，脉冲压缩的过程通常需要在零中频进行，此时，线性调频信号的表达式变为：$$s(t)=rect(\frac{t}{\tau })e^{j\pi K{t}^2}$$少了初始频率$f_0$，从$h(t)$的表达式可以看出，如果不考虑器件延时$t_0$和增益常数$K$，匹配滤波器的冲击响应是滤波器输入信号$f(t)$的共轭倒置，即：$$h(t)=f^{\ast }(-t)=rect(\frac{t}{\tau })e^{-j\pi K{t}^2}$$滤波器输出可以由$f(t)、h(t)$卷积得到，也可以由他们的傅里叶变换乘积再经过傅里叶反变换得到。在实际应用中，通过卷积直接做脉冲压缩的运算量很大。，更多是从频域角度来实现匹配滤波。

4、仿真

参数名称	参数值
带宽（B）	20MHz
脉冲宽度（tao）	10e-6s
脉冲重复间隔 （T）	1e-4s
采样频率（fs）	80MHz
目标1距离（R1）	7000m
目标2距离（R2）	15000m
目标3距离（R3）	15300m
目标4距离（R4）	15500m

得到回波如下图：

对回波进行脉冲压缩后的波形如下图：

可以看到，由于目标2、目标3和目标3相距较近，他们的回波信号由接收机接收后会混在一起，难以分辨，但是经过脉冲压缩后，可以很容易的分辨出来。

附上仿真程序：

clear
T   =  1e-4;
tao =  10e-6;
B   =  20e6;
fs  =  4*B;
R1  =  7000;
R2  =  15000;
R3  =  15300;
R4  =  15500;
c   =  3e8;  %光速

rcs1=0.2;
rcs2=0.5;
rcs3=0.3;
rcs4=0.35;
delay1=2*R1/c;  %回波达到时间
delay2=2*R2/c;
delay3=2*R3/c;
delay4=2*R4/c;

t=-tao/2:1/fs:tao/2-1/fs;
x_linear=5*exp(1j*pi*(B/(10e-6).*(t.^2)));  %发射信号
figure
subplot(211);plot(t,real(x_linear));title('时域波形')
X=fftshift(fft(x_linear));
f=linspace(0,fs,length(t))-fs/2;
subplot(212);plot(f,abs(X));title('频域')

t1=ceil(delay1*fs/2):1:ceil(delay1*fs/2)+length(t)-1; %回波占的采样点
t2=ceil(delay2*fs/2):1:ceil(delay2*fs/2)+length(t)-1;
t3=ceil(delay3*fs/2):1:ceil(delay3*fs/2)+length(t)-1;
t4=ceil(delay4*fs/2):1:ceil(delay4*fs/2)+length(t)-1;

echo1=randn(1,T*fs); %噪声
echo2=randn(1,T*fs);
echo3=randn(1,T*fs);
echo4=randn(1,T*fs);
echo1(t1)=x_linear*rcs1+echo1(t1);
echo2(t2)=x_linear*rcs2+echo2(t2);
echo3(t3)=x_linear*rcs3+echo3(t3);
echo4(t4)=x_linear*rcs4+echo4(t4);
echo=echo1+echo2+echo3+echo4; 
figure;
plot(0:1/fs:T-1/fs,real(echo));xlabel('time');title('回波')
h=exp(-1j*pi*(B/(10e-6).*(t.^2)));  %匹配滤波器冲击响应
output=ifft((fft(h,length(echo)).*fft(echo,length(echo))));  %h和echo做fft的长度要一样
figure;
subplot(211);plot(0:1/fs:T-1/fs,abs(output));title('脉冲压缩输出波形');xlabel('time');
subplot(212);plot(0:1/fs:T-1/fs,db(abs(output)/max(abs(output))),'r');title('脉压结果分贝图');ylabel('dB')

参考：

[1]陈小利. 合成孔径雷达成像研究[D].南京大学,2015.
[2]https://blog.csdn.net/weixin_45858061/article/details/102986993