凌复华：冯·诺依曼在量子力学领域的贡献

来源：科学出版社

约翰·冯·诺依曼(John von Neumann,1903.12.28—1957.2.8)这个名字, 对大多数读者都不会是陌生的.人们首先想到的很可能是他在研制世界上第一颗原子弹和第一台可编程数字式电子计算机中所做的贡献.这些确实是他的重要成就,但他对人类的贡献远不止于此.

 

冯·诺依曼是匈牙利裔美国数学家、物理学家、计算机科学家和博学家. 冯·诺依曼一般被认为是他那个时代最重要的数学家,并且被称为“伟大的数学家的最后一位代表”;他是一位自由驰骋于自然科学与应用科学的天才.

他在许多领域中做出了重大贡献,包括数学(数学基础、泛函分析、遍历理论、表示理论、算子代数、几何、拓扑、线性规划和数值分析),物理学(量子力学、流体动力学和量子统计力学),经济学(博弈论),计算机(冯诺依曼总体结构、自我复制机器、随机计算)和统计学.

他是把算子理论应用于量子力学的先驱,也是博弈论和细胞自动机、通用构造和数字计算机等概念发展中的关键人物.

他一生共发表了150多篇论文：纯数学的和应用数学的各约60篇,另有约20篇是物理学的,其余为专题性的.他的最后一部作品是他在医院中写的一份未完成的手稿,后来以书籍形式出版,名为《计算机与人脑》.

他对自我复制结构的分析先于DNA结构的发现.他在早年向美国国家科学院提交的简历中说,“我认为我最重要的工作是量子力学,1926年在哥廷根及1927～1929年在柏林进行了这方面的研究.此外,1930年在柏林和1935～1939 年在普林斯顿对各种形式算子理论进行研究, 1931～1932年在普林斯顿对遍历定理进行研究.”

在第二次世界大战期间,冯·诺依曼与理论物理学家爱德华·泰勒(Edward Teller), 数学家斯坦尼斯拉夫·乌兰(StanislawUlam)等一起参加曼哈顿计划, 解决了核物理中涉及热核反应和氢弹的关键问题.他开发了内爆型核武器中使用的爆炸镜头的数学模型,并创造了TNT这个术语用来度量爆炸力,TNT是与黄炸药相比的爆炸当量,一般以千克或吨计.

1945 年, 冯诺依曼等在第一台计算机的一个课题报告的初稿中描述了具有以下组件的电子数字计算机的设计架构：

• 处理单元,包括算术逻辑单元和处理器寄存器;

• 控制单元,包括指令寄存器和程序计数器;

• 存储数据和指令的内存;

• 外部大容量存储;

• 输入和输出装置.

这种“冯·诺依曼架构”被应用于任何有存储程序的计算机,其中指令获取和数据操作不能同时发生,因为它们共享公共总线.这一点被称为冯·诺依曼瓶颈,可能限制系统的性能.与之对比的是“哈佛架构”,其中有一组专用的地址和数据总线读写内存,另一组获取指令.但冯·诺依曼架构机器的设计比哈佛架构机器更简单,现代计算机几乎都采用冯·诺依曼架构.

约翰·冯·诺依曼的《量子力学的数学基础》是一本革命性的著作，它引起了理论物理学的巨大变化.在这本书中，作者通过探索量子力学的数学结构，可以获得对量子物理学的深入洞见.他首先介绍了埃尔米特算符和希尔伯特空间理论，它们提供了转换理论的框架，冯·诺依曼将其视为量子力学的确定形式.应用这一理论，他用严谨的数学来应对量子理论中的一些普遍问题，如量子统计力学以及测量过程.

 

以上是冯·诺依曼重要成就的简述,本文将重点介绍与本书密切相关的他在量子力学方面的贡献.

他对量子力学的兴趣开始于1925年,其间该学科刚刚因玻恩(Born)、海森伯(Heisenberg)和若尔当(Jordan),以及之后狄拉克(Dirac)的工作而有了一个完整系统.冯·诺依曼当时在柏林工作,他经常访问海森伯所在的哥廷根,那里的首席数学家是希尔伯特(Hilbert).

希尔伯特对量子力学非常感兴趣,并鼓励数学家与物理学家进行合作.在希尔伯特看来,量子力学当时在数学方面是一团糟.海森伯没有使用严谨的数学,也没有学习的意愿.狄拉克则随意使用他那著名的δ函数,该函数在一点无限,在他处为零,当时这种定义令人难以接受(只是在二十年后,施瓦茨(Schwarz)提供了δ函数的严谨基础).当时的理论以两种不同的数学方式表达：海森伯、玻恩和若尔当的“矩阵”力学和薛定谔(Schrödinger)的“波动”力学.这两种表达方式的数学等价性已经由薛定谔确定,二者都作为狄拉克和若尔当发展的一般形式(通常称为“变换理论”)的特例.然而,这种形式是相当笨拙的,原因是它依赖于定义不明确的数学对象——δ函数.

冯·诺依曼很快意识到,用希尔伯特空间的抽象公理理论及其线性算子可以提供自然得多的框架.在这种数学形式下,物理系统的状态由希尔伯特空间中的向量描述,可观测量用埃尔米特(Hermite)算子表示.

量子理论的希尔伯特空间形式化的一个基本特征是,最重要的物理量(如位置、动量或能量)由无界埃尔米特算子表示.因为理论对测量结果的预测使得代表物理量的算子的谱分辨率有了实质性的应用,冯·诺依曼在他最初的研究中,面临把已知的有界埃尔米特算子谱理论拓展到无界情形的问题.到1929年,他给出了这个问题的一个完整的解决方案.他引入了超极大对称算子这个最重要的概念,这是具有谱分辨率的最一般的埃尔米特算子.

因此,量子力学的物理学被简化为希尔伯特空间和其中的线性算子的数学.例如,不确定性原理被转化为两个对应算子的不可易性.根据不确定性原理,粒子位置的测定阻止其动量的测定,反之亦然.这个新的数学公式包括了海森伯和薛定谔的特殊情况.

在用希尔伯特空间中的向量和算子表达量子力学的过程中,冯·诺依曼也完整和一般地给出了理论阐释的基本统计规则.该规则涉及处于给定量子态的系统中给定物理量的测量结果,并借助一个简单且现在众所周知的公式来表示其概率,该公式涉及状态的向量表示及代表物理量的算子的频谱分辨率.这条规则,最初由玻恩于1926年建议,是冯诺依曼全概率量子力学数学分析的起点.1927年,他的论文引入了统计矩阵的概念,用于描述不一定全部在相同的量子态的系统的总体.统计矩阵(现在通常称为“ρ矩阵”,但冯·诺依曼使用的符号是U )已成为量子统计学的主要工具之一.正是这一贡献,即使对数学最不关心的物理学家也知道冯·诺依曼这个名字.

在同一篇论文中,冯·诺依曼还研究了一个现在仍然在讨论的问题,即量子–机械测量过程和它涉及的非因果元素的理论描述.冯·诺依曼在数学上十分优雅地对这个微妙问题进行了研究.为了在物理上澄清量子现象对物理测量本质的重要意义,需要进行许多研究,冯·诺依曼的数学对此提供了一个清晰的形式框架.

1927年论文的结果立即被作者用作量子热力学的基础.类似于众所周知的熵的经典公式

其中, f 记相空间中的一个分布函数, 他给出了量子统计熵

其中, ρ记一个统计矩阵.

他进一步写下了标准总体在温度T 时的密度矩阵,

其中, H是哈密顿算子.两年后,冯·诺依曼回到量子热力学,对一个困难得多的问题做出了贡献：量子系统遍历定理的公式与证明.这项工作的基本原则是,通过考虑所有具有一定不准确性的给定值的宏观量量子态的集合,定义相空间中细胞的量子类似物.进一步用酉变换U将这些量子态与哈密顿本征态相关联,于是遍历性对酉变换U的“几乎每个”值都成立.虽然后一个限制从物理上看是相当不能令人满意的,必须考虑到冯·诺依曼的遍历定理是对一个最困难论题的极少数重要贡献之一,该论题即使到现在还远未完全澄清.

近年来,顾樵在量子统计熵的意义上讨论了最大熵原理,导出了混沌态、相干态和压缩态;最重要的是,他又进一步利用量子统计熵给出了生物光子学的结果.

冯·诺依曼的抽象处理也使他能够应对决定论与非决定论的基本问题,他在书中提出了一个证明,即量子力学的统计结果不可能如同在经典统计力学中那样,是一组确定的“隐藏参数”的平均值.1935年,格雷特·赫尔曼(Grete Hermann)发表了一篇论文,认为该证明因包含概念性错误而无效.赫尔曼的工作长期被忽略,直到约翰· S.贝尔(John S. Bell)于1966年提出了基本相同的论点.然而,杰弗里布勃(Jeffrey Bub)于2010年指出贝尔误解了冯·诺依曼的证明,并指出该证明虽然不适用于所有隐藏参数理论,但至少排除了一个有明确定义的重要子集.布勃也表示冯·诺依曼意识到了这种局限性,但并未声称他的证明完全排除了隐藏参数理论.另一方面,对布勃论证的有效性也存在争议.

冯· 诺依曼的证明引发了一系列研究,通过贝尔在1964年根据贝尔定理的工作以及1982年阿兰·阿斯佩科特(Alain Aspect)的实验,最终证明了量子物理学或者要求与经典物理学有实质性不同的现实的概念,或者必须包括明显违反狭义相对论的非局域性.

在本书第六章中,冯·诺依曼深入地分析了测量问题.他的结论是,整个物理世界都可能受到通用波函数的制约.由于需要“计算之外”的某些东西来使波函数崩溃,冯·诺依曼得出结论,崩溃是由实验者的意识引起的.冯·诺依曼认为,量子力学的数学允许波函数的坍塌位于测量装置到人类观察者“主观意识”因果链中的任何位置.尤金·维格纳(Eugene Wigner)接受了这种观点,但该观点并未得到大多数物理学家的认可.冯·诺依曼–维格纳的解释可总结如下.

量子力学的规则是正确的,但只有一个系统可以用量子力学来处理,即整个物质世界.存在无法在量子力学中处理的外部观察者,即人类(也许是动物)的思想,它们对大脑进行测量,导致波函数坍塌.

冯·诺依曼在本书中首次提出了量子逻辑,他指出希尔伯特空间上的投影可以看作关于物理可观测量的命题.量子逻辑领域随后在冯·诺依曼和加勒特·伯克霍夫(Garrett Birkhoff)于1936年发表的著名论文中揭开序幕,其中他们首次证明了量子力学需要的命题演算与所有经典逻辑有实质性的不同,并为量子逻辑严格地隔离了一个新代数结构.创造量子逻辑命题演算的概念首先在冯·诺依曼1932年的一篇文章中作了简短的概述,然后在1936年,对新命题演算的需求通过几个证明予以说明.

虽然量子力学理论直到今天仍在演化,但量子力学中问题的数学表达方式有一个基本框架,作为大多数方法的基础,它可以追溯到冯·诺依曼最初使用的数学表达方式和技巧.换句话说,关于量子力学理论阐释的讨论及其拓展,目前主要是在共同认可的数学基础上进行的.

在出版之时，这本书被视为一部力作。时至今日，对于那些对量子力学的基本问题感兴趣的人而言，本书仍然是不可或缺的。

 

本文摘编自《量子力学的数学基础》[（美）约翰·冯·诺依曼；凌复华译. 北京：科学出版社，2020.08]一书“译者序”，有删减，标题为编者所加。

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