沃尔什变换

沃尔什变换

转自：沃爾什轉換

图像数据越是均匀分布，经过沃尔什-哈达玛变换后的数据越是集中于矩阵的边角上，因此沃尔什变换具有能量集中的性质，可以用于压缩图像信息。

轉換公式

沃爾什轉換的轉換式為：

$$F[m]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]W[m,n]$$

其中 $W[m,n]$是沃爾什轉換矩陣的第（m,n）個元素。

沃爾什轉換的反轉換式為
$$f[m]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}F[n]W[m,n]$$

注意到正轉換式與反轉換式只差了一個常數，這是由於沃爾什轉換矩陣的反矩陣就是自己的轉置矩陣乘上一個常數的緣故。

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沃爾什轉換矩陣的產生

$2^k$點的沃爾什矩陣可以用下面的遞迴方式產生：起始值$k=1$（2點沃爾什轉換矩陣）

$$W_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

Step 1 定義$V_{2^{k+1}}=\left(\begin{array}{cc}{W}_{2^k}& W_{2^k}\\ W_{2^k}& -W_{2^k}\end{array}\right)$

Step 2 根據變號次數（正負號改變次數）把$V_{2^{k+1}}$的列（row）重新排列成為$W_{2^{k+1}}$。

4*4
$$W_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right)$$

8*8

$$V_8=\left(\begin{array}{cc}{W}_4& W_4\\ W_4& -W_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1\\ 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\end{array}\right)$$

$$W_8=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\\ 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1& 1& 1& -1& 1\\ 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\\ 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\end{array}\right)$$

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计算举例：

例子转自：压缩感知——沃尔什-哈达玛(WHT)变换与逆变换

$$f_1=\left[\begin{array}{llll}1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\end{array}\right]$$

$$W_1=\frac{1}{4^2}\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrrr}1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$f_2=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$$

$$W_2=\frac{1}{4^2}\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$