11. 机器人正运动学---姿态描述之四元数

目录

 

1. 引言

2. 四元数转旋转矩阵

3. 已知旋转矩阵求四元数

3.1 先求w

3.2 先求x

3.3 先求y

3.4 先求z

4. 四元数与旋转矩阵转换的C++实现

4. 总结

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1. 引言

上一篇文章我们主要介绍了欧拉角与旋转矩阵之间的关系，这篇文章介绍旋转矩阵和四元数之间的关系。关于四元数的定义和工作原理这里就不详细介绍了，给大家推荐一篇文章Understanding Quaternions以及它的中文翻译版理解四元数。我认为这篇文章写得非常透彻，相信不管是谁再去写关于四元数原理的文章都无出其右了。

2. 四元数转旋转矩阵

四元数对空间中的点进行变换有固定的表达形式。我们这里只讨论归一化的四元数。设一个四元数表达如下：

                                                                    

这个四元数描述的就是绕轴旋转。空间中一个点在惯性系下的坐标为，在用四元数进行操作之前我们首先要把它变成纯四元数的形式即，运用四元数对这个点进行旋转，得到一个新的点，如下式：

                         

因此在已知四元数时，旋转矩阵的计算公式如下：

                                                    

3. 已知旋转矩阵求四元数

关于旋转矩阵转四元数有一个问题曾经困扰了我很久，就是关于开方的问题，大家都了解开方其实是有正负两个解的，为什么忽略一个解呢？不只是在这里，在很多其他地方，特别是后面会讲到的机器人逆解问题，也有类似的情况出现。为了避免大家踩坑，我们先把这个坑填上。先给一个命题：四元数和它的相反四元数描述相同的旋转。这是一个真命题，简单证明一下，我们知道四元数对点进行变换的公式如下：

                                                                                      

对于归一化四元数，它的逆是(其实对于归一化四元数，它的逆就是它的共轭)，那么四元数的逆呢？很显然是，如果让四元数作用于同一个点呢：

                                                                     

负负得正，因此和作用效果是一样的。

接下来回归正题，旋转矩阵怎么求四元数呢，我们还是要从前面得到的旋转矩阵出发来进行推导，在这个过程中不要忘记我们讨论旋转对应的四元数始终是归一化的，即元素平方和为1。

需要注意的是，我们求解四元数有四种途径，从数学上讲他们的行为是一样的，除了在表达式奇异的位置（所谓表达式奇异在这里是指分母为0），但是从数值分析的角度上考虑，当分母太小时，计算结果对舍入误差非常敏感，因此需要尽量减小舍入误差的影响，所以才会根据实际情况选择一种解法来求四元数。接下来我们通过以下旋转矩阵求四元数：

                                          

3.1 先求w

我们详细讲一下先求，后面的方法类似，把对角线元素相加（注意代表的第i行第j列的元素），前面也提到对于归一化四元数它的元素平方和为1，即，所以，所以怎么求呢？很简单：

                                                                    

有了，其他元素就比较容易了，请观察和，两个元素作差再除以就得到了，同理和作差再除以可以得到，与作差再除以可以得到，最终计算结果如下：

                                                                                

                                                                                

                                                                                

接下来踩一个坑，求时有一个开方运算，为什么不取负值？你可能也看到了，如果取负值，相应的，，的求解分母都有，他们也会取负值，所以得到的四元数就是我们在第三节开头提到的负四元数，它和我们公式得到的四元数描述相同的旋转，所以我们取为正的一组解，后面三种情况也相同。

3.2 先求x

在3.1中如果我们求出的过小，为了避免解的不稳定，需要采用其他的求解方法，我们可以从对角线元素中先求，或者。具体先求哪一个呢？我们当然希望先求大的那一个，因为你会看到，通过对角线元素求出的那个值始终是作为另外三个等式的分母，这个值越大越不容易受到舍入误差的影响。

具体的比较方法就是比较三个对角线元素哪个大，如果最大，说明相对来说绝对值最大，为什么这么说呢？大概提一下：

                        

                        

                        

这样很明显可以看出当最大时说明绝对值最大，当最大时说明绝对值最大，当最大时说明绝对值最大。

当你发现最大时，我们就先求，根据归一化四元数元素平方和为1，利用对角线元素我们就可以求解，如下：

                                                                    

后面的求解就类似了，找到矩阵主对角线对称的元素，作和或者作差然后除以即可。最终计算结果如下：

                                                                               

                                                                                

                                                                               

3.3 先求y

当你发现最大时，我们就先求，思路与3.1一样，结果如下：

                                                                   

                                                                                

                                                                                 

                                                                                          

3.4 先求z

当你发现最大时，我们就先求，思路与3.1一样，结果如下：

                                                                  

                                                                               

                                                                                

                                                                                

4. 四元数与旋转矩阵转换的C++实现

代码是算法的载体，我始终觉得不写烂代码是算法工程师的基本素养，接下来我们把旋转矩阵与四元数的变换关系用C++实现一遍。

先说从四元数转旋转矩阵，这个过程是很直接的，我们直接把对应的旋转矩阵写入即可。头文件中的描述如下：

/**
 * @brief This class is used to represent rotation in 3d space.
 * */
class Rotation {
public:
  Rotation();
  /**
   * @brief Construct
   * @param[in] Xx \ref data[0]
   * @param[in] Yx \ref data[1]
   * @param[in] Zx \ref data[2]
   * @param[in] Xy \ref data[3]
   * @param[in] Yy \ref data[4]
   * @param[in] Zy \ref data[5]
   * @param[in] Xz \ref data[6]
   * @param[in] Yz \ref data[7]
   * @param[in] Zz \ref data[8]
  */
  Rotation(double Xx, double Yx, double Zx, double Xy, double Yy, double Zy,
           double Xz, double Yz, double Zz);
  /**
   * @brief Convert quaternion to Rotation object.
   * q=[w,(x,y,z)], w is the scalar, (x,y,z)is the direction vector.
   * @param[in] x X of the quaternion
   * @param[in] y Y of the quaternion
   * @param[in] z Z of the quaternion
   * @param[in] w W of the quaternion
  */
  static Rotation quaternion(double x, double y, double z, double w);
  /**
   * @brief Get quaternion from the Rotation.
   * @param[in] x Reference to quaternion x
   * @param[in] y Reference to quaternion y
   * @param[in] z Reference to quaternion z
   * @param[in] w Reference to quaternion w
  */
  void getQuaternion(double &x, double &y, double &z, double &w) const;
  /**
   * @brief data of the rotation matrix
   * @note the rotation matrix is defined as:
   * [data[0], data[1], data[2];
   *  data[3], data[4], data[5];
   *  data[6], data[7], data[8]]
   * */
  double data[9];
};

在头文件中我们定义了一个数组来保存旋转矩阵的9个元素。四元数转旋转矩阵的代码如下：

Rotation Rotation::quaternion(double x, double y, double z, double w) {
  Rotation r;
  r.data[0] = 1 - 2 * y * y - 2 * z * z;
  r.data[1] = 2 * (x * y - w * z);
  r.data[2] = 2 * (x * z + w * y);
  r.data[3] = 2 * (x * y + w * z);
  r.data[4] = 1 - 2 * x * x - 2 * z * z;
  r.data[5] = 2 * (y * z - w * x);
  r.data[6] = 2 * (x * z - w * y);
  r.data[7] = 2 * (y * z + w * x);
  r.data[8] = 1 - 2 * x * x - 2 * y * y;

  return r;
}

旋转矩阵转四元数的代码如下：

void Rotation::getQuaternion(double &x, double &y, double &z, double &w) const {
  double epsilon = 1E-12;
  double r11 = data[0];
  double r12 = data[1];
  double r13 = data[2];
  double r21 = data[3];
  double r22 = data[4];
  double r23 = data[5];
  double r31 = data[6];
  double r32 = data[7];
  double r33 = data[8];
  w = sqrt(1.0f + r11 + r22 + r33) / 2.0f;
  if (fabs(w) > epsilon) {
    // compute w first.
    x = (r32 - r23) / (4 * w);
    y = (r13 - r31) / (4 * w);
    z = (r21 - r12) / (4 * w);
  } else {
    if (r11 >= r22 && r11 >= r33) {
      // compute x first
      x = sqrt(1.0f + r11 - r22 - r33) / 2.0f;
      w = (r32 - r23) / (4 * x);
      y = (r21 + r12) / (4 * x);
      z = (r31 + r13) / (4 * x);
    } else if (r22 >= r11 && r22 >= r33) {
      // compute y first
      y = sqrt(1.0f - r11 + r22 - r33) / 2.0f;
      w = (r13 - r31) / (4 * y);
      x = (r21 + r12) / (4 * y);
      z = (r23 + r32) / (4 * y);
    } else {
      // compute z first
      z = sqrt(1.0f - r11 - r22 + r33) / 2.0f;
      w = (r21 - r12) / (4 * z);
      x = (r13 + r31) / (4 * z);
      y = (r23 + r32) / (4 * z);
    }
  }
}

原理讲清楚之后，代码其实十分简单，就是把公式套用一遍，这里就不过多介绍了，旋转矩阵与四元数的转换相关C++源代码我已经上传到github: https://github.com/hitgavin/rosws/tree/master/src/frames，感兴趣可以参考一下。

4. 总结

这篇文章主要介绍了旋转矩阵与四元数之间的关系，下一篇文章我们将介绍姿态描述的另一种方法：轴角/旋转向量。由于个人能力有限，所述内容难免存在疏漏，欢迎指出，欢迎讨论。